לדף הכניסה של ישרא-בלוג
לדף הראשי של nana10
לחצו לחיפוש
חפש שם בלוג/בלוגר
חפש בכל הבלוגים
חפש בבלוג זה




מלאו כאן את כתובת האימייל
שלכם ותקבלו עדכון בכל פעם שיעודכן הבלוג שלי:

הצטרף כמנוי
בטל מנוי
שלח

RSS: לקטעים  לתגובות 
ארכיון:


10/2017

בואו נבנה את המספרים


היום אני רוצה לעשות מין "סקירה היסטורית" של מערכת המספרים שאנחנו משתמשים בה. אני לא מדבר על שיטת הספירה או המספור (שזה נושא מעניין בפני עצמו), אלא על מבנה המספרים עצמם - אנחנו נראה כיצד התפתחו המספרים לאורך אלפי השנים האחרונות, כאשר נתחיל במספרים הטבעיים ונסיים במספרים המרוכבים (אפילו שזה בהחלט לא סוף הסיפור). במהלך הפוסט אנחנו נראה את הקשר בין המבנה של מערכת המספרים לבין ההתפתחות של פעולות החשבון, וננסה להבין את הרעיון שדחף את ההתפתחות של כל קבוצת מספרים מרכזית. הפוסט הזה לא דורש שום ידע מוקדם במתמטיקה, אבל אני מקווה שהוא יוכל לתת פרספקטיבה חדשה למי שפחות מכיר את הרקע ההיסטורי למתמטיקה ולשפוך קצת אור על חלק מהרעיונות הכי בסיסיים בה.

 

ההתחלה של הכל - המספרים הטבעיים ופעולות החשבון הבסיסיות

מתמטיקה היא דבר עתיק - יש תיעוד לשימוש בכלים מתמטיים מסוג זה או אחר עוד משחר האנושות. הרעיון הבסיסי ביותר שממנו צמחה המתמטיקה (והמספרים) הוא רעיון הכמות - אנשים השתמשו במתמטיקה כדי להגדיר כמה דברים "יש" - שמש אחת, חמישה תפוחים, שמונה סוסים, אלף אנשים וכו'. בהתאם לכך, קבוצת המספרים הראשונה שהתפתחה הייתה קבוצת המספרים הטבעיים - 1, 2, 3 וכן הלאה. בדיוק כמו ששם הקבוצה מסגיר, המספרים הטבעיים נועדו להגדיר את הרעיון הטבעי של עצמים שניתן למנות אותם.

אבל מספרים בפני עצמם זה לא קונספט כל כך שימושי - צריך לעשות איתם משהו. באופן די אוטומטי, התפתחו כמה פעולות חשבוניות בסיסיות שהיו מאוד שימושיות לחיי היום-יום. אם יש לי עשר כבשים ואני מקבל עוד שתיים, כמה כבשים יש לי? אם אני מקבל חמישה שקים שבכל אחד שלושה כרובים, כמה כרובים יש לי? שאלות מהסוג הזה היו הכוח שהניע את היווצרות פעולות החיבור והכפל, שעזרו להסתכל על מצבים יום-יומיים קצת יותר מורכבים מבעיות מנייה רגילות. ומן הסתם, אחרי שהגדירו את החיבור והכפל, גם החיסור והחילוק לא איחרו לבוא - הן פשוט הוגדרו כמעין "הפכים" של שתי הפעולות הראשונות; במקום לקבל שתי כבשים, לוקחים לך שתיים. במקום לקבל חמישה עשר כרובים בחמישה שקים, מחלקים אותם לשקים. אז מלבד המספרים הטבעיים, היו לנו ארבע פעולות שיכולנו לבצע עליהם - חיבור, חיסור, כפל וחילוק.

כמובן, עבור כל פעולת חשבון גם הוגדרו "חוקים" שמתאימים את הפעולות לאינטואיציות היום-יומיות. למשל - הוגדר שפעולת החיבור היא "אדישה" לחילוף; זה לא משנה אם היו לי שלוש אבנים ומצאתי שתיים, או אם היו לי שתי אבנים ומצאתי שלוש - בסוף התהליך יש לי את אותה כמות של אבנים (לעומת זאת, נסו להסביר מדוע פעולת החיסור אינה אדישה לחילוף). גם פעולת הכפל הוגדרה כאדישה לחילוף, והאינטואיציה לכך היא גיאומטרית - אם יש לי חלקת אדמה באורך עשרה מטרים ורוחב עשרים מטרים, השטח שלה זהה לחלקת אדמה באורך עשרים מטרים ורוחב עשרה מטרים (ונסו לחשוב מדוע פעולת החילוק אינה אדישה לחילוף). תכונה זו, ונוספות (כמו חוק הקיבוץ וחוק הפילוג), עזרו לבסס את השימוש בפעולות החשבון הבסיסיות ולשמר את המשמעות האינטואיטיבית שהייתה להן.

אני חושב שכל הצעדים האלה הם מרשימים בפני עצמם - האנושות ביצעה, בפעם הראשונה בהיסטוריה, הפשטה של בעיות. הפיתוח הזה של המספרים הטבעיים, פעולות החשבון ותכונותיהן, נבע מההבנה שמבחינה כלשהי, אין שום הבדל בין "שני תפוחים ועוד שני תפוחים" לבין "שני בתים ועוד שני בתים". זו הפשטה שהיא בכלל לא כל כך מובנת מאליה כשחושבים עליה, אבל היא הרעיון הכי בסיסי במתמטיקה. מספרים ופעולות חשבון הפכו להיות משהו מעט יותר מופשט מהעצמים שעליהם הם פעלו. כשביצעו את פעולות החשבון, כבר פחות היה צורך לדבר על "עשר פרות שמוסיפים אליהן עוד שמונה פרות", אלא פשוט על 10+8 (או כל משוואה אחרת שרצו להרכיב).

 

הבעיה במספרים הטבעיים

בניית המספרים הטבעיים ופעולות החשבון הבסיסיות הייתה בלי ספק אחת ההצלחות הגדולות בתולדות האנושות. אבל ההפשטה הזאת גם הביאה איתה כמה "צרות" לא צפויות; מסתבר שהשיטה שלנו לייצוג בעיות מאפשרת להגיע לכמה תוצאות די אבסורדיות. בואו נסתכל למשל על השאלה הבאה - איזה מספר קיים כך שאם נוסיף לו 4 נקבל 2? המשוואה הפשוטה עצמה x+4=2 היא לגמרי תקפה מבחינת האופן שבו מערכת המספרים שלנו בנויה, אבל ברור לחלוטין שלא קיים במסגרת מערכת המספרים שלנו מספר שמקיים את הדרישות. במילים אחרות - יש לנו משוואה חסרת כל פשר. בואו ניקח עוד דוגמה, מעולם הגיאומטריה - מה צריך להיות אורך של קטע מסוים, כך שאם אקח ארבעה כמוהו אקבל קטע באורך 2? במילים אחרות, צריך למצוא x שמקיים את המשוואה - 4x=2. גם המשוואה הזו תקינה לגמרי "טכנית", אבל גם הפעם אין במערכת המספרים שלנו פתרון למשוואה. שתי הדוגמאות האלה נראות לנו די מגוחכות כיום (כי אנחנו יודעים שיש להן פתרונות, הם פשוט לא מספרים טבעיים), אבל לפני כמה אלפי שנים אלה היו שאלות די גדולות. הרי האדם בנה לעצמו מערכת מספרים מצוינת למנייה של אובייקטים, אז למה זה לא מספיק?

אם נהיה דקדקנים, אנחנו נראה שיש למעשה שני גורמים בעייתיים מאחורי כל הבעיות הללו - פעולת החיסור ופעולת החילוק. החיבור והכפל הם אחלה חבר'ה - כל תרגיל שאנחנו מבצעים באמצעותם על המספרים הטבעיים תמיד "הגיוני" - סכום של שני מספרים טבעיים הוא תמיד מספרים טבעי, ומכפלה של שני מספרים טבעיים היא תמיד מספר טבעי. הבעיה בדוגמאות שהצגנו למעלה, זה שהן בשלב כלשהו דורשות מאיתנו לבצע את פעולת החיסור או החילוק (במקרה של x+4=2 נצטרך לחסר את 4 מ-2 ובמקרה של 4x=2 נצטרך לחלק את 2 ב-4), ורק אז העניינים מתחילים להסתבך. רק כשאנחנו מפעילים את פעולת החיסור והחילוק אנחנו נתקלים פתאום בתוצאות שאין להן משמעות במסגרת המספרים הטבעיים. במילים אחרות, אנחנו רואים שמערכת המספרים הטבעיים שלנו היא לא ממש "שלמה" - אמנם היא סגורה ביחס לשתיים מפעולות החשבון (חיבור וכפל), אבל בנוגע לשתיים הנותרות היא לא סגורה - אפשר לבצע את הפעולות כך שלא תהיה תוצאה בתוך המספרים הטבעיים.

אבל מערכת המספרים הטבעיים שלנו הוכיחה את עצמה כמדויקת ושימושית - אנחנו באמת צריכים לזרוק אותה לפח רק בגלל הבעיה הזאת? ממש לא - אנחנו רק צריכים להרחיב אותה קצת. אנחנו צריכים למצוא דרך להרחיב את מערכת המספרים הטבעיים באופן שנוכל לייצג בה את הבעיות שלנו שאין להן פתרון.

 

שברים, מספרים שליליים ובניית המספרים הרציונליים

היסטורית, הבעיה הראשונה שנפתרה הייתה בעיית החילוק, על ידי המצאת מערכת השברים. מיותר לציין שבעיות שכללו שברים היו מאוד נפוצות עוד מתחילת האנושות, ולכן היה חשוב להמציא מערכת מספרים שתוכל לטפל בהן. ברור לנו שאם לוקחים עוגה ומחלקים אותה לחמישה חלקים (במילים אחרות - 1:5) חייב להיות לבעיה פתרון מספרי, אבל מפני שהוא לא קיים במסגרת המספרים הטבעיים, הוחלט להרחיב את המספרים הטבעיים ליצירת מערכת שתכלול שברים; במקום לבטא כל מספר באמצעות מספר טבעי בודד, ניתן לבטא כל מספר באמצעות שני מספרים טבעיים כדי לתת פתרון לבעיות חילוק שאין להן פתרון במסגרת הטבעיים. באופן זה, אנחנו מבטיחים שמערכת המספרים שלנו סגורה ביחס לחילוק - לכל בעיה שכוללת חילוק יש תשובה. כמובן, גם הגיעו למסקנה שלכל מספר יכול להיות יותר מייצוג אחד כשבר - 1/4 אינו שונה מ-2/8. זה אמנם קצת שונה ממה שהכרנו עד כה במספרים הטבעיים, אבל זה מחיר שאין לנו בעיה לשלם בשביל שנוכל לפתור בעיות שכוללות חילוק.

הגדרת השברים הייתה תהליך די מהיר וטבעי, מפני שהאינטואיציה מאחוריו ברורה - אנחנו מבינים טוב מאוד מה זה אומר "לחלק חמש כיכרות לחם בין עשרה אנשים". אבל הפתרון לבעיית הסגירות של החיסור היה לא כל כך אינטואיטיבי, ולקח לאנושות הרבה זמן באמת לקבל אותו כפתרון לגיטימי. אנחנו מחפשים דרך לפתור תרגילים כמו 1-9, אבל במסגרת האינטואיציה שלנו על המספרים הטבעיים קשה לנו להבין מה בכלל אומר - מה זה אומר בכלל "להחסיר עשר תרנגולות משלוש תרנגולות"? פה גם הרעיון של המספר 0 נכנס לתמונה (גם הוא לא היה קיים בהגדרה המקורית של המספרים הטבעיים) - אי אפשר לספור אפס בתים, זה אומר ש-0 הוא לא מספר בעל משמעות? הוא לא יכול לייצג פתרון לבעיה?

עם זאת, בסופו שלו דבר הוחלט להרחיב את מערכת המספרים שלנו אל המספרים השליליים. יש כאלה שטענו שהמספרים מייצגים "חוב" - אם יש לי מספר שלילי של מטבעות, אני חייב למישהו כסף. יש כאלה שטענו שהם מייצגים את "הכיוון ההפוך" - אם אני הולך לאורך ציר המספרים לכיוון שמאל, אפשר להגיד שהמהירות שלי "הפוכה" למהירות שלי אם אני הולך לצד ימין, מה שאומר שניתן לייצג אותה כמספר שלילי. וכמובן - יש כאלה שטענו שלמספרים השליליים אין משמעות כלל (ושהם פשוט נועדו להעניק פתרון אד הוק למשוואות מסוימות), או שלחלוטין התכחשו לקיומם. כך או כך, האנושות התחילה בהדרגה לשלב את המספרים השליליים במערכת המספרים (אפילו שהתהליך היה ארוך).

 

והנה - פתרנו את בעיית הסגירות שלנו. כשאנחנו מוסיפים למערכת המספרים הטבעיים המקורית שלנו את הקונספט של שברים ומספרים שליליים, אנחנו מבטיחים שלכל בעיה שמבוססת על ארבע פעולות החשבון הבסיסיות יהיה פתרון - סגירות מוחלטת ביחס לחיבור, חיסור, כפל וחילוק. מערכת המספרים החדשה הזאת נקראת "המספרים הרציונליים", וההגדרה הפשוטה שלה היא "כל מספר שניתן לבטא כמנה של שני מספרים שלמים - חיוביים או שליליים".

זה הישג נהדר, וכפי שמיד נראה, זאת הפעם הראשונה שבה חשבנו (באופן די תמים) ש-"זהו, זה מספיק". על פניו, נראה שאנחנו יכולים לפתור כל בעיה מתמטית שננסה לבטא, ושמערכת המספרים שלנו סוף סוף שלמה. הסיבה העיקרית לאופטימיות הייתה גילוי של תכונה חשובה של קבוצת המספרים הרציונליים - מסתבר שזו קבוצה "צפופה" - בין כל שני מספרים רציונליים, לא משנה כמה קרובים, תמיד יש עוד אינסוף מספרים רציונליים נוספים. זה נראה מאוד מבטיח - מילאנו את ציר המספרים שלנו עד אפס מקום!

 

בעיות ממשיות

תחושת ההישג הזאת לא שרדה יותר מדי זמן. אמנם מערכת המספרים הרציונליים היא סגורה ביחס לחיבור, חיסור, כפל וחילוק, אבל אלה ממש לא הפעולות החשבוניות היחידות שמשמשות אותנו. ביוון העתיקה, המתמטיקה שימשה בעיקר לגיאומטריה, וכך גם התגלה הסדק הראשון במספרים הרציונליים. הכל התחיל בשאלה גיאומטרית מאוד בסיסית - יש לנו ריבוע עם אורך צלע של יחידה אחת. מהו אורך האלכסון שלו? באמצעות משפט פיתגורס, ניתן בקלות לחשב שאורכו הוא . אבל מהו הערך המספרי של ? כיצד נבטא אותו כמספר רציונלי?

יש לי כבר שני פוסטים (1, 2) שעוסקים בשורשים לא רציונליים, אז אני לא אחזור על ההוכחה, אבל המסקנה המזעזעת הייתה זו - לבעיה הגיאומטרית הבסיסית הזאת אין פתרון במערכת המספרים הרציונליים. כן, כן - אחרי שטרחנו כל כך הרבה בשביל ליצור את מערכת המספרים המושלמת (ולמרות הצפיפות המוחצת של המספרים הרציונליים), עדיין יש בעיות מתמטיות שאנחנו לא יכולים לפתור אותן באמצעות מספרים רציונליים - קיימים מספרים שהם אי-רציונליים. חשבנו שציר המספרים שלנו מלא לגמרי, אבל מסתבר שיש בו חורים שאנחנו לא מצליחים למלא (למעשה, לאחר 2000 שנה התגלה שהמספרים הרציונליים הם בכלל מיעוט בציר המספרים, ושהמספרים האי-רציונליים הם הרוב המוחץ - ההוכחה החלקית בפוסט הזה).

עם הזמן, גילו שלמספרים האי-רציונליים יש כל מיני תכונות מוזרות שמעולם לא נתקלו בהן לפני כן במספרים. למשל - כשמציגים אותם כשבר עשרוני, יש להם אחרי הנקודה העשרונית רצף מספרים שלעולם לא נגמר ושלעולם לא חוזר על עצמו - מעין מספרים שצריך כמות אינסופית של מידע כדי לתאר אותם "במדויק". למעשה, אין להם באמת שום תיאור מדויק - באמצעות ייצוג רציונלי אפשר להתקרב לערך שלהם בכל רמת דיוק שנרצה, אבל אף פעם אי אפשר באמת "להגיע אליהם".

 

מן הסתם, לא יתכן שמערכת המספרים שלנו לא תכלול את את המספרים החשובים האלה, שמופיעים בתור פתרונות למשוואות הבסיסיות ביותר בגיאומטריה. אז הוחלט, פעם נוספת, להרחיב את עולם המספרים הקיים שלנו, כך שיכלול גם את המספרים האי-רציונליים. המספרים הרציונליים והאי-רציונליים יוצרים ביחד את ציר המספרים הממשי. ההגדרה של הציר הממשי היא מאוד לא פשוטה - אי אפשר פשוט להגיד "הציר הממשי כולל את כל מה שרציונלי ואת כל מה שלא רציונלי" - זה ביטוי חסר פשר. בלי להיכנס לפרטים, ההגדרה שלו מתבססת על התכונה המעניינת של המספרים הממשיים שראינו קודם - ניתן להתקרב אליהם בכל רמת דיוק שנבחר. אז כדי להרגיש שבכל זאת יש לנו הגדרה כלשהי למספרים הממשיים, ניתן להם את ההגדרה הלא מדויקת הבאה - ציר המספרים הממשי כולל את כל המספרים שניתן להתקרב אליהם בכל רמת דיוק שנרצה באמצעות מספרים רציונליים.

לדוגמה, הפיתוח העשרוני של  נראה בערך ככה - 1.41421... (כאמור, יש אינסוף מספרים אחרי הנקודה העשרונית). אמנם המספרים הרציונליים לא מאפשרים לנו לבטא את הערך שלו באופן מדויק, אבל הם כן מאפשרים לנו להתקרב לערך שלו בכל רמת דיוק שנרצה. למשל, נוכל לתאר אותו באמצעות סדרת המספרים הרציונליים - 1.4, 1.414, 1.4142... וכן הלאה. אמנם הסדרה הרציונלית הזאת לא מבטאת באופן רציונלי את הערך של , אבל היא נותנת לנו קירוב טוב "באופן אינסופי".

אגב, שימו לב שהמילה אינסוף מתחילה להופיע פה בקצב מסחרר, וזה לא סתם. המספר הממשיים הם הקבוצה הראשונה של מספרים שהיה צריך להגדיר אותם מהיסוד תוך שימוש בקונספט של אינסוף - ההרחבה העשרונית האינסופית, הייצוג בתור גבול של סדרות אינסופיות וכו'. לדעתי, זה הופך אותם למערכת המספרים הכי "מעניינת" והכי מורכבת שאנחנו משתמשים בה.

 

הערת שוליים קטנה על הממשיים

כמו שבטח כבר הבנתם, בכל פעם שאנחנו מרחיבים את מערכת המספרים שלנו, אנחנו עושים את זה בגלל רעיון מניע מרכזי - אנחנו רוצים ש-"לכל שאלה תהיה תשובה" - לכל משוואה שנבטא יהיה פתרון מוגדר במערכת המספרים שלנו. אבל אנחנו כל כך רוצים שלכל שאלה תהיה תשובה, שאנחנו שוכחים לבדוק האם הדבר מתקיים בכיוון ההפוך - האם לכל תשובה יש שאלה? האם כל מספר במערכת המספרים שלנו הוא פתרון של משוואה מוגדרת בפעולות החשבון הרגילות שלנו? זה נראה די מתבקש שלא יהיו "נוסעים זרים" במערכת המספרים שלנו - לא יכול להיות שהמערכת כוללת מספרים שאין לנו "גישה" אליהם. כלומר - מן הסתם כל מספר במערכת המספרים שלנו הוא פתרון למשוואה כלשהי, נכון?

אז לא נכון. עד הגדרת המספרים הממשיים, זו אכן הייתה האמת - כל מספר טבעי, שלם ורציונלי הוא פתרון של משוואה פשוטה כלשהי. אבל כשהגדרנו את המספרים הממשיים, אנחנו בטעות יצרנו משפחה שלמה של מספרים שלא הייתה קיימת עד עכשיו - המספרים הטרנסצנדנטיים. אלה הם מספרים שהם לא רק אי-רציונליים, אלא לחלוטין לא ניתנים להגדרה באמצעות משוואה פשוטה. , למשל, הוא אמנם מספר אי-רציונלי, אבל אפשר להציג אותו בקלות בתור פתרון של משוואה - פשוט פותרים את המשוואה הפולינומית . לעומת זאת, מסתבר שהמספרים הטרנסצנדנטיים (שכוללים בין היתר את  המפורסם) הם מספרים שקיימים על הציר הממשי, אבל שאין לנו אפשרות לייצג אותם בתור פתרון של שום משוואה פולינומית. אפשר להגיד שהם אכן "תשובות בלי שאלות". אגב, בהמשך הוכח שגם הם נפוצים על ציר המספרים הממשי הרבה יותר מהמספרים הרציונליים וגם מהמספרים האי-רציונליים "הפשוטים" - מסתבר שמרבית המספרים הממשיים הם למעשה נוסעים זרים.

 

האם סיימנו?

אחרי מסע ארוך ומייגע, הגענו סוף סוף לציר המספרים הממשי. זה כנראה הציר שהכי מוכר לנו ממתמטיקה של בית הספר - זה ציר המספרים שעליו קיימות הפונקציות שאנחנו לומדים עליהן ומופיעות כל המשוואות שאנחנו פותרים בכיתה. ואחרי אלפי שנים של מאמץ, הייתם מצפים שסיימנו, נכון? דאגנו לסגירות בחיבור, בחיסור, בכפל, בחילוק ואפילו דאגנו לפתרונות ממשיים למשוואות הגיאומטריות ההן! הרחבנו את מערכת המספרים שלנו כבר שלוש פעמים - עכשיו כבר אפשר לנוח, נכון? רק עוד רגע.

תזכרו - כל הצעדים שביצענו נועדו להבטיח שכל משוואה שננסה לפתור - יהיה לה פתרון. אנחנו רוצים מערכת מספרים שלמה - אסור שתהיה במערכת שלנו משוואה שהפתרון שלה לא יופיע בתוך המערכת. אבל אנחנו שוכחים שלמעשה יש משפחה שלמה של משוואות שעוד לא טיפלנו בהן, לגמרי בלי לשים לב.

בואו ניזכר שנייה בחוק הבסיסי שלימדו אותנו ביסודי - "אם מעלים מספר בריבוע, התוצאה תמיד חיובית", או בניסוח אחר - "למספרים שליליים אין שורש". זה חוק מאוד הגיוני, נכון? הרי אם נעלה מספר חיובי בריבוע, נקבל מספר חיובי (פלוס כפול פלוס = פלוס), ואם נעלה מספר שלילי בריבוע, גם נקבל מספר חיובי (מינוס כפול מינוס = פלוס). אז ברור לחלוטין שלא קיים מספר שאם נעלה אותו בריבוע יהיה שלילי.

עכשיו אני רוצה שתקראו שוב את המשפט האחרון בפסקה הקודמת (ובלי הדעות הקדומות משיעורי מתמטיקה). נכון שזה נשמע לכם מוכר? "ברור שלא קיים מספר שמקיים את המשוואה..." זה המשפט שחזר על עצמו לאורך כל ההיסטוריה - אמרו את זה על הטבעיים, על השלמים, על הרציונליים... ובכל פעם מחדש הבינו שאין כזה דבר. אי אפשר להרשות שיהיו משוואות בלי פתרון סתם כי "ברור שאין כזה דבר במערכת מספרים שלנו" - אנחנו חייבים להרחיב עוד פעם את מערכת המספרים שלנו! אנחנו צריכים למצוא מערכת של מספרים שתאפשר לנו לענות על משוואות פולינומיות מהמשפחה של . במילים אחרות - אנחנו צריכים שורשים של מספרים שליליים.

 

אחרונים חביבים - המספרים המרוכבים

כמו שהגדרנו עד עכשיו סוגים חדשים של מספרים (שליליים, שברים, אי-רציונליים וכו') אנחנו נגדיר עכשיו סוג נוסף - מספר מדומה. אל תתנו לשם להטעות אתכם - המספרים המדומים הם לא פרי דמיון יותר מכל מספר אחר, והשם שלהם נובע בעיקר מעוול היסטורי. הם "אמיתיים" בדיוק כמו כל מספר אחר שהגדרנו עד עכשיו, וזוהי הגדרתם:

נגדיר את המספר המדומה הכי בסיסי, שיכונה מעתה , באופן הבא -  (או באופן יותר פשטני - ).

במבט ראשון זה נראה קצת כמו חילול הקודש - אנחנו באמת יכולים לשבור את הכלל הבסיסי הזה שלמדנו במשך שנים? באמת אפשר פשוט "להמציא" מספר ככה? התשובה היא - כן וכן. אל תשכחו שכל מספר שהגדרנו עד עכשיו הוא בסך הכל "המצאה" - אנחנו החלטנו ש- הוא הפתרון של המשוואה 2x=1, אנחנו החלטנו ש- הוא הפתרון של המשוואה , ועכשיו אנחנו מחליטים ש- הוא פתרון של המשוואה . אמנם התהליך הזו הוא "מלאכותי", אבל כל שאר התהליכים האלה היו מלאכותיים באותה מידה. זה לא "סתם משהו שמישהו החליט" - זה רעיון שיש מאחוריו הרבה מחשבה - תהליך של אלפי שנים שהמטרה הסופית שלו היא ליצור מערכת מספרים "שלמה", שנוכל לפתור בה כל משוואה.

 

עכשיו כשהגדרנו את המספרים המדומים, אנחנו יכולים סוף סוף לבנות המספרים המרוכבים, שהם החלק האחרון בפאזל שלנו. המספרים המרוכבים לוקחים את ציר המספרים הממשי ומרחיבים אותו. למעשה, זו לשון המעטה; הם לא מרחיבים אותו - הם מוסיפים לו מימד נוסף. ככה זה בנוי:

- אנחנו לוקחים את הציר הממשי, ובמאונך אליו אנחנו מניחים ציר נוסף, שייקרא "הציר המדומה". הציר המדומה הוא זהה לחלוטין לציר הממשי, רק שכל המספרים בו הם מדומים - במקום 1, 2, 3... מופיעים עליו  וכן הלאה.

- במערכת המספרים המרוכבים, כל מספר מיוצג בתור נקודה כלשהי על מערכת הצירים הזאת (שנקראת "המישור המרוכב", או "מישור גאוס"). כפי שבמערכת הצירים הקרטזית לכל נקודה יש ערך X וערך Y, במישור המרוכב לכל מספר יש חלק "ממשי" וחלק "מדומה", וניתן לייצג אותו בתור הסכום של שניהם. כך, למשל, נשתמש במישור המרוכב לייצוג המספר :

 

 

באותו אופן, כל נקודה במישור הזה מייצגת מספר מרוכב כלשהו באמצעות קואורדינטה דו-מימדית (בדיוק כפי שכל נקודה על ציר המספרים מייצגת מספר ממשי באופן חד-מימדי). אפשר גם לבטא את המספר המרוכב בדרכים אחרות, למשל - המרחק שלו מראשית הצירים והזווית שהוא יוצר עם הציר הממשי (את  לדוגמה אפשר לייצג בצורה ).

 

למה בכלל צריך את המספרים המרוכבים?

אוקיי, אז יצרנו מערכת חדשה של מספרים. איך היא עוזרת לנו?

אל תשכחו בשביל מה יצרנו אותה - אנחנו רוצים שתהיה לנו מערכת מספרים שיש בה פתרון לכל משוואה פולינומית, וזה בדיוק מה שהמרוכבים עושים. יצא לכם פעם לפתור בכיתה משוואה ריבועית שיצא בה שורש שלילי, והמורה פשוט אמרה "שאין לה פתרון"? אז עכשיו יש לה פתרון - מספר מרוכב כלשהו.

למעשה, מסתבר שהמספרים המרוכבים לא רק מצילים את המשוואה הריבועית - הם משלימים את הפאזל באופן סופי. מה שאנחנו חיפשנו עד עכשיו היה מערכת מספרים שהיא לחלוטין "סגורה אלגברית" - שלכל משוואה פולינומית יהיה לנו פתרון בתוך המערכת, ככה שלא נצטרך להמשיך ולהרחיב את מערכת המספרים שלנו. אז החדשות הטובות הן שלאחר אלפי שנים של מאמץ, הוכח משפט שנקרא "המשפט היסודי של האלגברה", שטוען בדיוק את זה - מערכת המספרים המרוכבים היא סגורה אלגברית. למעשה, קחו כל משוואה - ליניארית, ריבועית, פולינומית, טריגונומטרית, אקספוננציאלית... כל דבר! המספרים המרוכבים הם בדיוק כל מה שאתם צריכים כדי לפתור אותה - לא פחות ולא יותר.

 

יש שיבואו ויגידו שלמרות התכונה הנהדרת הזאת של המספרים המרוכבים - "אין להם משמעות". עד עכשיו, כל הרחבה שעשינו למערכת המספרים שלנו נבעה מצורך לפתור בעיה מציאותית כלשהי - מנייה של קבוצות, חלוקה של עצמים, בעיות גיאומטריות וכו'. לעומת זאת, למספרים המרוכבים אין שום "מטרה" חוץ מלפתור משוואה פולינומיות - הם לא מייצגים שום אספקט של המציאות. לאנשים האלה אני יכול להגיד שני דברים:

1) אמנם אין איזו אינטואיציה נחמדה מחיי היום-יום שמסבירה למה מספרים מרוכבים הם חלק מהמציאות, אבל הם בלי ספק חלק מרכזי ממנה, ויש להם המון שימושים פרקטיים. דוגמה מתחום שקרוב ללבי היא מתורת הקוונטים, שבה משתמשים באופרטורים שכמבוססים על מספרים מרוכבים לייצוג של גדלים פיזיקליים כמו אנרגיה. למרוכבים יש שימושים גם בניתוח של מערכות הרמוניות (כמו גלים), הנדסת חשמל ועוד המון תחומים אחרים. אם המספרים המרוכבים לוקחים חלק כל כך משמעותי בהיבטים בסיסיים של המציאות, מן הסתם ה-"קיום" שלהם מוצדק בדיוק כמו של המספרים הממשיים.

2) מבחינה מתמטית טהורה, זה בכלל לא משנה אם למרוכבים יש "משמעות" כלשהי. בתור מערכת, המרוכבים הופכים את המתמטיקה ליותר שלמה, ומאפשרים לנו לפתור בעיות שבלעדיהם לא היינו יכולים (אגב, גם בעיות שכוללות אך ורק מספרים ממשיים). במתמטיקה לא מודדים ערך של משהו לפי כמה הוא מציאותי, אלא לפי מידת השימושיות שלו בעולם המתמטי ומידה היופי שהוא מוסיף למערכת (ואם הוא שימושי גם במציאות אז זה בונוס, וכבר ביססנו שיש להם לא מעט שימושים).

 

סיכום

זה היה תיאור מזורז של תהליך שנמשך כמה אלפי שנים טובות. האם זה סוף הסיפור? לא ממש - מתמטיקאים בונים כל הזמן מערכות מספרים חדשות ושונות שמשמשות לצרכים שונים. אבל כן אפשר להגיד שמבחינת המאמץ שלנו ליצור מערכת מספרית שלמה וסגורה אלגברית, המספרים המרוכבים הם באמת כל מה שאנחנו צריכים.

 

אני רוצה שנייה לחזור ולדבר על התהליך עצמו - לא שיטת מספרים זו או אחרת שבחרנו להשתמש בה, אלא על הכוח המניע של כל צעד שהתבצע לאורך הדרך. כשמפרקים את כל הסיפור לגורמים, אנחנו רואים ש-"הגביע הקדוש" של כל הסיפור הזה היה מציאת מערכת המספרים "המושלמת". אבל מה בדיוק הפך את התוצאה הסופית למושלמת? ואיך ידענו מה אנחנו מחפשים? בואו נחשוב דקה על כמה מהדרישות האינטואיטיביות שהיו לנו כלפי מערכת המספרים שלנו:

1) הגדרנו עליה שתי פעולות בסיסיות, חיבור וכפל, שקבענו שצריכות לקיים את חוק החילוף, הקיבוץ והפילוג.

2) לחיבור ולכפל הגדרנו פעולות "הפוכות" (חיסור וחילוק), שקבענו שיכולות "לבטל" את שתי הפעולות הבסיסיות.

3) דרשנו סגירות מכל אחת מפעולות החשבון שלנו - אם נבצע את הפעולות על איבר כלשהו במערכת המספרים, תמיד נקבל איבר שגם הוא שייך למערכת המספרים.

4) דרשנו סגירות אלגברית - לכל משוואה פולינומית שמבוססת על מערכת המספרים יש פתרון במערכת המספרים.

 

בכל שלב במהלך הדרך התחלנו עם מערכת מספרים מסוימת, ואז גילינו שהיא לא מקיימת חלק מהתנאים שהצבנו למעלה למערכת "מושלמת", וכתוצאה מכך הרחבנו את מערכת המספרים. במתמטיקה, למערכת שמקיימת את ארבע הדרישות האלה (בניסוח טיפה שונה) קוראים "שדה סגור אלגברית", ומסתבר שיש למבנים כאלה תכונות שהן נורא שימושיות לייצוג אלמנטים של המציאות שלנו.

קשה לי להסביר כמה כל הסיפור הזה מעניין בעיניי - זה לא שבשלב כלשהו בדרך מישהו ישב והחליט - "אנחנו צריכים לבנות שדה סגור אלגברית"; עד הכמה מאות שנים האחרונות, אף אחד אפילו לא טרח להגדיר בכלל מה זה "שדה". איכשהו, האדם פשוט ידע לכל אורך הדרך להגדיר באופן אינטואיטיבי אילו תכונות צריכות להיות למערכת המספרים שהוא משתמש בה כדי לייצג את המציאות באופן עקבי ושלם - אף אחד לא "ידע" שסגירות זה דבר חשוב, או שחוק הקיבוץ באמת מתקיים - אלה פשוט דברים שנוצרו באופן טבעי כתוצאה מאבולוציה מתמטית שלקחה אלפי שנים.

 

יש אנשים שאומרים שמתמטיקה היא חלק מהטבע ושהאדם מגלה אותה. יש אנשים שטוענים שמתמטיקה לא באמת קיימת, אלא היא פשוט מערכת לוגית שהאדם המציא אותה כדי לתאר את המציאות. אני לא יודע איזו משתי התשובות היא הנכונה, אבל כך או כך, שתי האפשרויות נורא מרשימות בעיניי.

__________________________________________________________________________________

 

מעניין אותי לשמוע מה אתם חושבים על הנושא. האם זה עוזר טיפה להבין את ההיגיון מאחורי התהליך של בניית המספרים? האם מערכת המספרים שלנו היא "טבעית", או שהיא פשוט יצירה של בני האדם? תרגישו חופשי לחלוק את דעתכם ולפתח את הנושא (התפלספות זה די תחביב שלי).

חג שמח! חיוך

נכתב על ידי קרל שוורצשילד , 7/10/2017 17:01   בקטגוריות מתמטיקה  
13 תגובות   הצג תגובות    הוסף תגובה   הוסף הפניה   קישור ישיר   שתף   המלץ   הצע ציטוט



Avatarכינוי:  קרל שוורצשילד

בן: 22




הבלוג משוייך לקטגוריות: מדע וטכנולוגיה
© הזכויות לתכנים בעמוד זה שייכות לקרל שוורצשילד אלא אם צויין אחרת
האחריות לתכנים בעמוד זה חלה על קרל שוורצשילד ועליו/ה בלבד
כל הזכויות שמורות 2017 © נענע 10 בע"מ