לדף הכניסה של ישרא-בלוג
לדף הראשי של nana10
לחצו לחיפוש
חפש שם בלוג/בלוגר
חפש בכל הבלוגים
חפש בבלוג זה




מלאו כאן את כתובת האימייל
שלכם ותקבלו עדכון בכל פעם שיעודכן הבלוג שלי:

הצטרף כמנוי
בטל מנוי
שלח

RSS: לקטעים  לתגובות 
ארכיון:


4/2017

משוואות ריבועיות, נוסחת השורשים ושלוש יחידות מתמטיקה


את הפוסט אני אפתח בכך שאחלוק פריט מידע אישי עליי - לפני התיכון הייתי מיועד לשלוש יחידות מתמטיקה.

לא כל כך אהבתי מתמטיקה בזמנו. לא היה לי משהו מיוחד נגד המקצוע, אבל חמש דקות אחרי תחילת כל שיעור כבר הייתי מפסיק להקשיב כי לא היה לי מעניין בכלל. כשהיו מלמדים את החלקים היותר אינטואיטיביים של החומר עוד הייתי איכשהו מסוגל להקשיב, אבל ברגע שהתחילה הטכניקה האלגברית הייתי מניח את הראש על השולחן ומקדיש את המחשבות שלי לנושאים אחרים.

זה לא שזלזלתי במקצוע כי הייתה חסרה לי סקרנות טבעית או משהו בסגנון; להפך - הזלזול נוצר בעיקר כתוצאה מחוסר ההיענות של מערכת החינוך לסקרנות שלי, מה שגם הביא בהדרגה לחיסול של הסקרנות עצמה. הייתי נורא מבואס מזה שבכל פעם ששאלתי בכיתה שאלה שקשורה לרעיונות המופשטים מאחורי החומר לא הייתי מקבל אף פעם תשובה אמיתית. משום מה זה לא נראה למורה רלוונטי שהתלמיד יבין מה הוא פותר, הוא רק צריך לדעת איך לפתור.

אז הייתי מגיע לכיתה, עוצם עיניים, מוציא ציונים בינוניים מינוס (אפילו שגם ככה הייתי בהקבצה של החלשים) ולא היה לי יותר מדי אכפת. הרי אם לבית ספר לא חשוב שאלמד, כנראה אין סיבה שזה יהיה חשוב גם לי.

בחצי שנה האחרונה של כיתה ט' החלטתי בכל זאת לקחת את עצמי בידיים ולעלות ל-5 יחידות, סתם כדי לשמור על אופציות פתוחות לעתיד. זה דרש השקעה די רצינית (לא קל לפצות בחצי שנה על הפער העצום שנוצר לכל אורך החטיבה), אבל בסופו של דבר קפצתי שתי הקבצות למעלה. באותה הזדמנות גם גיליתי שאני בכלל לא רע במתמטיקה ברגע שאני באמת נכנס לחומר וחותר לעבר מטרה מסוימת. אבל אם להגיד את האמת, אם זה לא היה מגיע ממני, למערכת החינוך לא הייתה שום בעיה עם זה שאהיה תלמיד בינוני שלא משקיע, לא מעניין לו ולא מממש את הפוטנציאל שלו.

ברגע שהגעתי ל-5 יחידות אני מוכרח להודות שהגישה של המורים טיפה השתפרה - היו מדי פעם דברים שבאמת הוכיחו לנו ולא פשוט הציגו לנו כמשוואה מוכנה, ובאמת הייתה טיפה יותר הרגשה שיש עם מי לדבר, אבל עדיין זה הרגיש לי שרוב הזמן פשוט מנסים להכין אותנו למבחן מבלי באמת להסביר לנו מה אנחנו עושים ולמה.

אני יכול לכתוב ספר שלם על כל הדברים שאני חושב על החינוך המתמטי במדינה, במיוחד על העוול שנעשה כלפי תלמידי 3 יחידות, אבל נראה לי שזה זמן טוב להגיע לנושא האמיתי של הפוסט הזה (אחרי המבוא הארוך והלא כל כך רלוונטי).

____________________________________________________

 

בתחילת כיתה ט' אני זוכר שהציגו לנו את נוסחת השורשים, שמשמשת לפתרון של משוואה ריבועית. למי שלא זוכר, היא נראית כך:

עבור משוואה מהצורה  \ ax^2 + bx + c=0 , ניתן למצוא את שני הפתרונות באמצעות הנוסחה  x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

זו נוסחה די ישירה ופשוטה, ולא הייתה לי בעיה להבין איך להשתמש בה. אבל בזמנו זה נראה לי כאילו פשוט הפילו אותה עליי מהשמיים, ולא באמת סיפקו שום הסבר לאיך בדיוק הגיעו למשוואה ומדוע היא עובדת. כשניסיתי לשאול לא כל כך קיבלתי תשובה, אז חזרתי לישון.

כיום הגישה שלי היא שאם משהו מעניין אותך ולא נותנים לך תשובה, אז כדאי לך לחפש לבד. ואכן לפני כמה שנים נזכרתי באותו רגע בכיתה והחלטתי לבדוק איך בדיוק הגיעו לנוסחה, והיום אני רוצה לכתוב על זה. יש כל מיני דרכים שונות להגיע לנוסחה; אני אציג את הדרך האלגברית המוכרת ביותר. אבל יותר חשוב מזה - אני אציג הסבר אינטואיטיבי לרעיון מאחורי האלגברה עצמה.

 

ההסבר לנוסחה

היוונים היו משתמשים בכלים גיאומטריים להוכחות מתמטיות. אפשר לראות דוגמה לכך בפוסט שלי על ההוכחה למשפט פיתגורס. היום אני רוצה להשתמש בגיאומטריה כדי להסביר את הרעיון מאחורי המשוואה הריבועית.

 

אז בואו נתחיל עם משוואה ריבועית סטנדרטית -  \ ax^2 + bx + c=0 . a, b, c הם מקדמים כלשהם, ואנחנו רוצים למצוא עבור אילו ערכים של x המשוואה מתקיימת.

בואו נתחיל בכך שנחסר c משני הצדדים של המשוואה ונקבל - .

כעת, נחלק את כל המשוואה ב-a - .

 

עכשיו אני רוצה שנשים לרגע את האלגברה בצד וננסה לחשוב על המשוואה שקיבלנו באופן גיאומטרי. בואו נמיר כל אחד מהגורמים בה למרובע כלשהו.

על    נחשוב בתור השטח של מרובע שאורך כל את מהצלעות שלו הוא x. על    נחשוב בתור השטח של מלבן שאורך הצלע האחת שלו הוא x ואורך הצלע השנייה הוא . על  נחשוב בתור השטח של מלבן כלשהו (המימדים המדויקים לא משנים). מה שהמשוואה אומרת לנו, זה שסכום השטחים של הריבוע והמלבן הראשון צריך להיות שווה לשטח של המלבן השני:

 

לא כל כך נוח להסתכל על המשוואה באופן כזה - השוויון יהיה הרבה יותר פשוט אם פשוט נתעסק עם ריבועים. כדי לעשות זאת, נתחיל בזה שניקח את המלבן האדום ונחלק אותו לשני מלבנים שווים קטנים יותר (כמו בציור), שנוכל להלביש באופן נוח על הריבוע הכחול:

 

שימו לב שעדיין לא יצרנו ריבוע שלם - חסרה לנו חתיכה קטנטנה כדי להשלים את הצורה שלנו לריבוע שכל אחת מצלעותיו שווה . אפשר לעשות זאת על ידי הוספת ריבוע בעל שטח  לשני הצדדים של המשוואה. עכשיו משוואת המרובעים שלנו נראית ככה:


 

מעולה! עכשיו אפשר לקחת את המרובעים שלנו ולהחזיר אותם לצורה אלגברית רגילה:

   (עושים מכנה משותף לאגף השמאלי)

     (מוציאים שורש משני אגפי המשוואה)

   (נשאר רק לבודד את x)

 

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

 

וזהו - קיבלנו את נוסחת השורשים!

השיטה הזו היא זהה לגמרי לגזירה האלגברית הרגילה של המשוואה, אבל אני מרגיש שההצגה הגיאומטרית עוזרת להבין קצת יותר טוב את הרציונל מאחורי חלק מהצעדים בהוכחה. יש הוכחות נוספות של הנוסחה שנעזרות בגיאומטריה, כולן יפות מאוד. ממליץ למי שזה מעניין אותו לקרוא קצת על הנושא.

_____________________________________________________

 

אני חושב שכשרואים בעיניים הוכחות לדברים מהסוג הזה זה נותן ערך מוסף עצום, ועוזר להבין את הרעיונות בצורה הרבה יותר טובה מסתם נוסחה שנופלת מהשמיים אל הלוח. אלוהים יודע שאם בחטיבה היו נותנים לי את ההסבר הזה על נוסחת השורשים, אולי הייתי מביע קצת יותר עניין במה שקורה בשיעור. לא צריך להיות גאון גדול בשביל להבין הוכחות מהסוג הזה, אבל הן מהוות נכס עצום. 

בכל שנה מאות אלפי תלמידים ניגשים לבחינות הבגרות שלהם במתמטיקה מבלי שיש להם מושג אמיתי על היופי וההיגיון מאחורי התרגילים שהם פותרים. כיום מרגילים תלמידים פשוט לקבל את מה שהמורים אומרים להם בשיעור, ללא חשיבה מעמיקה, והוכחות מהסוג הזה לא מתאימות לפרדיגמה הזו. מה שהזוי זה שהתופעה הזו רווחת בשיעורי המתמטיקה יותר מבכל מקצוע אחר - רוב האנשים לא מבינים בכלל שיש משמעות לתרגילים שהם פותרים מעבר לטכניקה האלגברית עצמה (זו גם הסיבה שמרבית התלמידים כל כך מתקשים בבעיות מילוליות - הם לא מסוגלים לחבר בין המילים למספרים).

 

מצטער שזה פוסט לא כל כך אופייני (המון דעה אישית ומעט חומר לימודי), אבל חלק מהסיבה שאני כותב פה זה כדי לעזור לאנשים לראות בדיוק את הצדדים האלה במתמטיקה. אני מקווה שההוכחה עצמה הייתה ברורה, ושאופן הבנייה של כל שלב בהוכחה מוצג כמו שצריך. אם יש צורך בהרחבה/תיקון כלשהם - מוזמנים להגיד לי.

אני גם מאוד מעוניין לדעת מה אתם חושבים על הפוסט באופן כללי - האם אתם מסכימים עם הטענות שהצגתי? או שאולי אין ברירה אלא ללמד בצורה הזו בבתי הספר? תמיד שמח לשמוע מה דעתכם.

שבוע טוב! :)

נכתב על ידי קרל שוורצשילד , 22/4/2017 17:05   בקטגוריות הוכחות, מתמטיקה  
20 תגובות   הצג תגובות    הוסף תגובה   הוסף הפניה   קישור ישיר   שתף   המלץ   הצע ציטוט
 



חזרנו לקבוצות!


האמת שדווקא לא תכננתי לחזור לכתוב על קבוצות כל כך מהר, אבל בגלל צירוף מקרים מסוים החלטתי לכתוב היום פוסט קצר ונחמד שיעזור למי שקרא את הפוסט הקודם על תורת הקבוצות להפנים קצת חלק מהרעיונות שהצגתי בפוסט. זה פוסט שהוא בעיקר תרגיל מחשבתי (למי שמעוניין), ופחות נועד להיות אינפורמטיבי.

למי שטרם קרא את הפוסט הקודם על תורת הקבוצות, אני ממליץ מאוד לעשות את זה עכשיו - אחרת הדברים לא יהיו יותר מדי ברורים.

_________________________________________________________________________________


הכל התחיל בזה שצפיתי בסרטון חדש מערוץ יוטיוב שאני מנוי עליו (לינק לסרטון בסוף הפוסט). הסרטון עסק בשאלה - האם ניתן לשלב באופן כלשהו את הספרות העשרוניות של המספרים \ \pi ו-e באופן שייצור מספר רציונלי? (מזכיר ש-\ \pi שווה בקירוב 3.14 ו-e שווה בקירוב 2.718)

כידוע, \ \pi ו-e הם מספרים אי-רציונליים, כלומר - הם כוללים רצף אינסופי ולא מחזורי של ספרות עשרוניות אחרי הנקודה העשרונית. השאלה היא האם ניתן לקחת את שני המספרים וליצור מהם מין "מספר כלאיים" - שלוקח חלק מהספרות העשרוניות של כל אחד מהמספרים (כך שכל ספרה עשרונית נשארת במקומה המקורי) ויוצר מספר חדש ורציונלי. השאלה בפני עצמה היא מעניינת מאוד, ואני ממליץ לכם לצפות בסרטון, אבל לא בה אני מעוניין לעסוק.

במהלך הסרטון הועלתה הטענה הבאה - כמות המספרים שניתן ליצור על ידי החלפת ספרות בין \ \pi ו-e היא אינסופית ובלתי ניתנת למנייה. זו טענה שהיא מאוד לא מובנת מאליה, ויוצרי הסרטון החליטו להשאיר את ההוכחה של הטענה כתרגיל מחשבתי לצופה. בגלל התזמון הנהדר שבו נתקלתי בשאלה, החלטתי שההוכחה הזו יכולה להיות הזדמנות נחמדה בשביל להפנים חלק מהנושאים שכתבתי עליהם בפוסט בזמנו, ואני מזמין אתכם לנסות לענות עליה. אנסח אותה שנית, באופן יותר מדויק:

תהא A קבוצת כל המספרים השונים שניתן להרכיב על ידי החלפת ספרות עשרוניות בין \ \pi ו-e, כך שכל ספרה עשרונית נשארת במקומה המקורי. הוכיחו כי העוצמה של הקבוצה A היא אינסופית ובלתי ניתנת למנייה.

אתם יכולים לפתור את השאלה? זה השלב שאני ממליץ לקרוא שוב את הפוסט הקודם. רמז - שימו לב לחלק שעוסק בטיעון האלכסון של קנטור. זה ייתן לכם כיוון טוב לפתרון.


שלבים ראשונים בדרך לפתרון

בואו קודם כל נבין בצורה יותר טובה מול מה אנחנו עומדים. נתחיל בלהגיע לכמה מסקנות מועילות:

1. אנחנו עומדים ליצור מספר שמורכב מהחלפות של ספרות של שני מספרים שונים. בכל מיקום עשרוני במספר הכלאיים שניצור, יש לנו שתי אופציות - להחליף את הספרות או לא להחליף.

2. אנחנו צריכים להוכיח שיש כמות אינסופית ובלתי ניתנת למנייה של מספרים שניתן ליצור בצורה כזו. בפעם הקודמת שהוכחנו שקבוצה היא בלתי ניתנת למנייה עשינו זאת בעזרת האלכסון של קנטור, אז כדאי לחשוב אם הטיעון מתלבש יפה גם על המקרה הזה (רמז - בהחלט כן).

3. כדי שלא נצטרך להתעסק עם מספר הכלאיים עצמו (שללא ספק ייראה מאוד מורכב), כדאי לנו למצוא דרך פשוטה לייצג כל מספר שניצור. בסעיף הראשון אמרנו שכל מספר בסופו של דבר פשוט מורכב מרצף של ספרות שהחלפנו או לא החלפנו. אם כן, במקום להשתמש במספר עצמו, ניתן פשוט לבטא אותו בתור שרשרת של ספרות 0 ו-1. הספרה 0 במיקום עשרוני מסוים תבטא "הספרה הזו לא הוחלפה בין שני המספרים", והספרה 1 במיקום עשרוני מסוים תבטא "הספרה הזו הוחלפה בין שני המספרים".

למשל, אם נרכיב מספר כלאיים על ידי החלפת כל ספרה במיקום עשרוני זוגי בין שני המספרים, ובלי שינוי בשאר הספרות, ניתן להציג את המספר כך:

0.10101010...

אם נרכיב מספר כלאיים על ידי החלפת כל הספרות חוץ מהספרה העשרונית השלישית, ניתן יהיה להציג אותו כך:

1.10111111...

בשורה התחתונה - פשוט מבטאים כל מספר כלאיים אפשרי בכך שהופכים כל ספרה שלו שהוחלפה ל-1 וכל ספרה שלא הוחלפה ל-0.


ועכשיו להוכחה!

עכשיו יש לנו כמות אינסופית של מספרים שמורכבים מ-0 ו-1, שהם שווי ערך לחלוטין לכל מספרי הכלאיים שהרכבנו מ-\ \pi ו-e. אנחנו רוצים להוכיח שקבוצת כל המספרים הללו היא אינסופית ובלתי ניתנת למנייה. אבל ניתן לעשות זאת בקלות באמצעות האלכסון של קנטור, ממש כפי שעשינו לקבוצת המספרים הממשיים (כלומר, הוכחה בדרך השלילה).

ראשית, נניח שהקבוצה כן ניתנת למנייה; כלומר - אנחנו יכולים לעשות רשימה מסודרת שתכלול את כל האיברים בקבוצה. רשימה שכזו תיראה בערך כך:


אבל בדיוק כמו בפעם הקודמת, אם נלך על האלכסון ונשנה בכל אחד מהמספרים ספרה אחת (מ-0 ל-1 ומ-1 ל-0) אנחנו בוודאות נקבל מספר שלא הופיע ברשימה המקורית (כי הוא נבדל מכל מספר ברשימה בספרה אחת לפחות).

 

וזהו בעצם - הוכחנו שהקבוצה היא בלתי ניתנת למנייה! חיוך

_________________________________________________________________________________


מקווה שהצלחתם לתרגל קצת את מה שלמדנו. ככל שפותרים יותר בעיות מהסוג הזה, כל העניין מתחיל לבוא באופן יותר טבעי, ולכן חשוב לנסות להפעיל את המוח ולפתור בעיות. אני מקווה שזה גם עוזר להבין יותר לעומק איך הוכחות מהסוג הזה עובדות.

 

למי שמרגיש שהוא מתחיל להבין איך כל הסיפור עובד, הנה שתי שאלות:

1. תוכלו לתת דוגמה לעוד קבוצות שהן בלתי ניתנות למנייה?

2. נסו להוכיח באמצעות האלכסון של קנטור שיש כמות אינסופית של פונקציות שלוקחות כערך x מספר טבעי כלשהו ומחזירות כערך y אחד מהמספרים - 0 או 1. (זה אלכסון קצת יותר מתוחכם מהשניים שהשתמשנו בהם עד עכשיו, אבל העיקרון זהה).

 

אם משהו בפוסט לא ברור, יותר מאשמח להרחיב ולהסביר. אני גם תמיד שמח לשמוע מה דעתכם על הנושאים שאני כותב עליהם ועל מה הייתם רוצים לקרוא.

המשך חג שמח! :)


עריכה:


Kaleidoscope eyes הגיבה בצדק שההוכחה שלי מתבססת על הנחה שלא הוכחתי - שפאי ו-e נבדלים אחד מהשני בכמות אינסופית של ספרות עשרוניות. אבל אם, לצורך העניין, החל מהספרה המיליון למשל כל הספרות שלהם מתחילות להיות זהות, הנחת היסוד הזו לא תופסת וכתוצאה מכך גם ההוכחה (ולמעשה מוכיחים את ההפך - יש כמות סופית של מספרי כלאיים שניתן ליצור).

זו הערה מאוד נכונה ואני שמח שקוראים אותי בעין מספיק ביקורתית ומשכילה בשביל לציין אותה (ובאופן כללי היא תמיד משאירה תגובות חכמות שכיף לקרוא) חיוך


נכתב על ידי קרל שוורצשילד , 15/4/2017 15:29   בקטגוריות מתמטיקה, תורת הקבוצות  
7 תגובות   הצג תגובות    הוסף תגובה   1 הפניות לכאן   קישור ישיר   שתף   המלץ   הצע ציטוט
 



חידת הקנקנים


רוצה להציג היום חידה ממש חביבה שנתקלתי בה בספר שקראתי לא מזמן - "מטמון האוצרות המתמטיים של פרופסור סטיוארט". החידה עצמה מאוד מפורסמת (בת כמה מאות שנים), לא יותר מדי מתוחכמת וכנראה נתקלתם בחייכם בוריאציה כלשהי עליה. אבל ספציפית בספר הוצגה דרך לפתרון שממש מצאה חן בעיניי ורציתי לחלוק פה.

החידה הולכת ככה:

יש לכם שלושה קנקנים בגדלים שונים - הראשון בעל קיבולת של 8 ליטרים, השני בעל קיבולת של 5 ליטרים והשלישי בעל קיבולת של 3 ליטרים. הקנקן של 8 הליטרים מלא, השניים האחרים ריקים. עליכם למזוג את המים כך שבסופו של דבר תתקבל חלוקה שבה בשני קנקנים יש בדיוק 4 ליטרים כל אחד. אין לכם אמצעי מדידה כלשהו, כלומר - כל מזיגה שלכם צריכה להסתיים בזה שאחד הקנקנים המעורבים במזיגה ריק או מלא לחלוטין.

אתם יכולים לפתור את החידה? בכמה צעדים?

 

(מצב התחלתי)

 

הגעה לפתרון

לרוב כשאני נתקל בחידות מהסוג הזה, שדורשות להגיע ממצב אחד לאחר במספר שלבים (כמו למשל חידת הזאב, הכבשה והכרוב שג'ק ג'ונסון כתב עליה בזמנו) השיטה שאני לרוב בוחר בה היא "טיפשות ואגרסיביות" - אני פשוט מנסה קומבינציות שונות על סמך אינטואיציה ורואה לאן הן מובילות אותי. אם אני רואה שאני תקוע בתוך לולאה אני מנסה קומבינציות אחרות, ואם אני רואה שהגעתי למצב חדש לגמרי שכנראה יקדם אותי אני בודק לאן הוא מוביל. זה לא האלגוריתם הכי מתוחכם שיש, אבל הוא אפקטיבי ותמיד מביא אותי בסוף לפתרון, ובחידות פשוטות יחסית לא צריך יותר מזה.

אבל השיטה שנתקלתי בה בספר היא הרבה יותר אלגנטית, אפילו שבמובנים מסוימים היא כמעט זהה לשיטה שלי. אני חושב שבמידה והחידה הייתה קצת יותר מסובכת (לדוגמא, עשרים כדים בגדלים שונים וחלוקות מים יותר מורכבות) השיטה הזו הייתה חוסכת הרבה זמן ביחס לאלגוריתם הטיפש שאני לרוב משתמש בו. אז הנה הדרך לפתרון:

 

נתחיל בלבטא את הבעיה באופן מופשט באמצעות מערכת קוארדינטות משולשות. מערכת קוארדינטות משולשות היא דומה מאוד למערכת הצירים הקרטזית שמשתמשים בה כדי לצייר גרפים ופונקציות, אלא שהיא נראית כמו סריג שמורכב ממשולשים שווי צלעות:

 

 

זה נראה קצת מוזר ולא ברור, אבל ברגע שנבין מה המשמעות של מערכת הצירים המיוחדת הזו נראה שאנחנו יכולים לפתור את הבעיה במהירות.

המערכת מבטאת את כל הקומבינציות האפשריות של חלוקת המים בין שלושת הקנקנים. שלוש הספרות בתוך כל מלבן מסמלות כמה ליטר מים יש בכל קנקן בקומבינציה, על פי הסדר הבא (משמאל לימין) - קנקן 3 ל', קנקן 5 ל', קנקן 8 ל'. אם נחפש לדוגמא את המצב ההתחלתי שלנו, בו שני הקנקנים הקטנים ריקים והקנקן 8 ל' מלא לחלוטין, נוכל למצוא אותו בפינה השמאלית התחתונה - 008 (מסומן בכחול).

מערכת הקואורדינטות מסודרת כך שהציר האופקי מסמל את כמות המים בקנקן 5 ל' (שימו לב שלאורכו הספרה האמצעית תמיד גדלה ב-1 בכל צעד) והציר האלכסוני מסמל את כמות המים בקנקן 3 ל' (לאורכו הספרה השמאלית גדלה ב-1 בכל צעד). מפני שיש 8 ליטרים של מים בחידה, הספרה הימנית (המבטאת את כמות המים בקנקן 8 ל') פשוט מחושבת על ידי השארית של חיסור כמות המים בשני הקנקנים הקטנים מ-8 (למשל, אם בקנקן הראשון יש ליטר אחד ובקנקן השני יש שלושה ליטרים אז בקנקן הנותר יהיו ארבעה ליטרים).

עכשיו, איך אנחנו משתמשים במערכת הצירים שלנו? בחידה מותר לבצע רק מזיגות מלאות (כלומר, אם התחלת מזיגה את ממשיך איתה עד הסוף, כאשר אחד מהקנקנים המעורבים במזיגה מלא או ריק). אבל שימו לב שניתן לתרגם את זה לתנועה בקו ישר לאורך מערכת הצירים, כאשר בכל כיוון שבו נעים, חייבים לנוע "עד שנתקלים בקיר" של מערכת הצירים. תעשו כמה בדיקות בעצמכם כדי להשתכנע שזה נכון.

אם כן, על מנת להגיע אל המצב הרצוי אותו אנחנו מחפשים (044, המסומן בירוק), כל מה שעלינו לעשות זה ללכת בקווים ישרים ובכל פעם שאנחנו נתקלים בקיר להמשיך בכיוון חדש (בערך כמו כדור ביליארד שנע על שולחן) עד שנצליח להגיע לקוארדינטה שאנחנו רוצים. זה עד כדי כך פשוט! עכשיו ניתן לפתור את החידה בקלות באמצעות מבט מהיר במערכת הצירים, בלי להשתמש באלגוריתם הטיפש (הנה שרטוט לדוגמא של אחד הפתרונות האפשריים):

 

 

אנחנו מתחילים מהמצב ההתחלתי, ומתרגמים את תנועת החצים לאורך הצירים למזיגות בין הקנקנים. באופן זה, נצליח לפתור את החידה תוך שבעה צעדים! (זהו, אגב, המספר הכי קטן של צעדים שצריך לבצע כדי לפתור את החידה. יש דרכים נוספות)

 

האם זה באמת פתרון אחר?

אז כפי שאמרתי מקודם, על אף שהפתרון הזה נראה אחרת, הוא לא שונה בהרבה מהאלגוריתם הטיפש. אולם הצגנו את המזיגות באופן יותר מופשט, אבל בסופו של דבר זה עדיין עניין של ניסוי וטעייה - אתה פשוט מבצע את הצעדים (הולך לאורך החצים השונים) ובודק לאן הם לוקחים אותך - בדיוק כמו באלגוריתם הטיפש.

עם זאת, כאשר מפשטים את הבעיה באופן זה, ניתן לפתור אותה באופן יותר פשוט ומהיר. הדבר נהיה בולט במיוחד בחידות יותר מורכבות. באופן זה גם קל לראות מתי נקלעים למבוי סתום. זה בדיוק מה שנחמד במתמטיקה - לוקחים בעיות ספציפיות ומפשטים אותן. ברגע שפותרים את הצורה הכללית, אפשר להלביש את הפתרון על המון מצבים שונים, לא רק על החידה המקורית.

______________________________________________________________________________

 

אהבתם את הדרך לפתרון? פרדיגמות מהסוג הזה נורא נפוצות בענף במתמטיקה שנקרא "תורת הגרפים". בדומה לבעיה שעסקנו בה בפוסט, בתורת הגרפים מרבים לקחת בעיות מוחשיות ולפשט אותן באמצעות גרפים, כך שניתן להגיע לפתרונות באופן מאוד אלגנטי. אני מתחיל ללמד את עצמי את הנושא לאט-לאט, ויש שם המון משפטים נהדרים שעוזרים לפתור בעיות הרבה יותר מסובכות. זה ממש מגניב, מקווה לכתוב על זה קצת בהזדמנות.

כרגיל, אני מאוד אשמח לשמוע מה דעתכם. אם יש משהו בפוסט שהייתם רוצים שארחיב עליו, או נושא אחר שהייתם רוצים לקרוא עליו - תמיד מוזמנים לכתוב.

תודה שקראתם! חיוך

נכתב על ידי קרל שוורצשילד , 8/4/2017 14:34   בקטגוריות חידות, מתמטיקה  
13 תגובות   הצג תגובות    הוסף תגובה   הוסף הפניה   קישור ישיר   שתף   המלץ   הצע ציטוט
 



לדף הבא
דפים:  

Avatarכינוי:  קרל שוורצשילד

בן: 21




הבלוג משוייך לקטגוריות: מדע וטכנולוגיה
© הזכויות לתכנים בעמוד זה שייכות לקרל שוורצשילד אלא אם צויין אחרת
האחריות לתכנים בעמוד זה חלה על קרל שוורצשילד ועליו/ה בלבד
כל הזכויות שמורות 2017 © נענע 10 בע"מ