לדף הכניסה של ישרא-בלוג
לדף הראשי של nana10
לחצו לחיפוש
חפש שם בלוג/בלוגר
חפש בכל הבלוגים
חפש בבלוג זה




מלאו כאן את כתובת האימייל
שלכם ותקבלו עדכון בכל פעם שיעודכן הבלוג שלי:

הצטרף כמנוי
בטל מנוי
שלח

RSS: לקטעים  לתגובות 
ארכיון:


12/2017

מחזור 3 גורר כאוס


לא עדכנתי פה מאז שהתחלתי לימודים, ודווקא היום התחשק לי לקפוץ לראות מה חדש פה. מיותר לציין שהטיימינג שלי לא היה משהו בהתחשב בנסיבות...

אז לא תכננתי לעשות את זה, ואלוהים יודע שאין לי זמן לזה ושאני צריך ללמוד לבחני אמצע, אבל אני אכתוב פוסט קצרצר שמסכם הרצאה שהייתי בה השבוע, סתם כמין פרידה למקום הזה. ההרצאה הציגה תוצאה די חשובה בתורת הכאוס. אשתדל לתת את התמצות הכי נאמן למקור והכי ידידותית לקורא:

 

נניח שיש לנו מערכת מורכבת כלשהי, ופונקציה שמתארת את ההתפתחות שלה לאורך מרווחים בדידים של זמן. למשל - יש לנו צלחת עם תרבית של חיידקים, ופונקציה כלשהי שמתארת לנו את כמות החיידקים שתהיה בצלחת במרווחים קבועים של זמן. אנחנו רוצים להשתמש בפונקציה כדי להפיק כמה שיותר תובנות על המערכת; ספציפית - אנחנו מעוניינים לדעת אם המערכת שלנו היא כאוטית.

מה זאת מערכת כאוטית בכלל? מערכת כאוטית היא בגדול מערכת שקשה לנו לדעת איך היא תתנהג לאורך זמן. זה לא שהיא מתבססת על תהליך הסתברותי כלשהו או שהיא תלויה במשתנה אקראי (כמו במכניקת הקוונטים) - היא עקרונית דטרמיניסטית לגמרי. למרות זאת, הבעיה עם מערכת כאוטית היא שהיא מאוד רגישה לתנאי התחלה - גם הבדל של סדר גודל זעיר (אפילו מיליארדית) בצורה שבה המערכת מתחילה את התהליך יכול לגרור שינויים קיצוניים באופן ההתנהגות שלה לאורך זמן. כתוצאה מזה, אין שום דרך פרקטית לדעת כיצד היא תתנהג בכל תהליך ותהליך, ולכן למראית עין ההתנהגות שלה יכולה אפילו להיראות אקראית.

לרוב מערכות כאוטיות נוצרות כתוצאה מריבוי של דרגות חופש מצד אחד, ואילוצים והגבלות על המערכת מצד שני. למשל - הנה ציור של מטוטלת כפולה שמצד אחד יש לה במהלך התנועה שלה ארבע דרגות חופש (המיקום והזווית של כל אחד מרכיבי המטוטלת), אבל מצד שני היא מקובעת במרכז ומוגבלת ע"י כוחות פיזיקליים שונים, ולכן התנועה של יוצרת מסלולים לא כל כך צפויים, שמאוד מאוד תלויים באיך המטוטלת התחילה את התנועה שלה.

 

בכל מקרה, אחד המאפיינים היותר מעניינים של מערכות כאוטיות מסוימות, זה המחזורים הפנימיים שקיימים בהן. מחזור של תהליך כאוטי זה מצב שבו לאחר פרק זמן מסוים, המערכת חוזרת למצב ההתחלתי שלה. זה עקרונית יכול לקחת שנייה, וזה יכול גם לקחת עשר שנים. יש קשר הדוק בין המחזורים הפנימיים של מערכת כאוטית לבין שאר התכונות שלה. למעשה, חלק מההגדרה של מערכת כאוטית זה שאם נסתכל על כל התהליכים האפשריים שפונקציית ההתנהגות שלה מגדירה, אנחנו יכולים למצוא אינסוף מחזורים שונים באינסוף אורכים שונים.

אז עכשיו נחזור למערכת שלנו, וננסה לחשוב איזה קריטריון יכול לומר לנו אם היא כאוטית, על סמך פונקציית ההתנהגות שלה שקיבלנו (רמז, הקריטריון מופיע בכותרת של הפוסט). אבל לפני שנעשה את זה, אני אבהיר כמה תכונות בסיסיות של הפונקציה שלנו (שהן תכונות די נפוצות למערכות מהסוג הזה):

- הפונקציה מקבלת כפלט את מצב המערכת ברגע t=t0 ומחזירה את מצב המערכת ברגע t=t0+1. כלומר, היא עובדת ביחידות זמן בדידות.

- הפונקציה היא מתחום רציף מסוים לעצמו. למשל - אם מדובר בריכוז החיידקים בתרבית מסוימת, אז אפשר להגיד שהפונקציה היא מהקטע הסגור [0,1] לעצמו - היא מקבלת את ריכוז החיידקים ברגע t=t0 (למשל, ריכוז של 30% נקשר לנקודה 0.3) וממפה אותה לריכוז החיידקים לאחר יחידת זמן אחת (למשל, לנקודה 0.7).

- הפונקציה היא דטרמיניסטית ועקבית.

- הפונקציה היא רציפה (זו הנחה ממש חשובה). אין בה קפיצות אקראיות או חורים בין נקודה לנקודה (ושוב, זה משהו שנכון לגבי חלק גדול מאוד מהפונקציות במערכות טבעיות כאלה).

- אם כבר אנחנו מתעסקים בהגדרות וטרמינולוגיה, אני אגדיר לקונטקסט שלנו מה זה אומר חזקה של פונקציה. נגיד שהפונקציה שלנו היא f. אז חזקה n-ית של f () היא הערך של הפונקציה אחרי n איטרציות. למשל, . אם אנחנו מדברים על המערכת במצבה ההתחלתי, אז אנחנו מדברים למעשה על . אלה סימונים שימושיים שיעזרו לנו כשנדבר על איך המערכת תתנהג אחרי כמות מסוימת של שלבים, או כשנדבר על אורך של מחזורים.

- ועוד מונח קטנטן שנשתמש בו - נקודת שבת של פונקציה. נקודת שבת של פונקציה היא נקודה שאם מפעילים עליה את הפונקציה, היא נשארת במקום. במילים אחרות, היא נקודה x שמקיימת - .

 

טוב, אז עכשיו כשהגדרנו את הנחות הבסיס שלנו, נגיע לטענה הגדולה של הפוסט:

משפט שרקובסקי - אם לפונקציה שלנו יש מחזור באורך 3, אז המערכת היא כאוטית.

ובניסוח עם ניחוח קצת יותר מתמטי:

יהא  קטע סגור ותהא  פונקציה רציפה על  כולו. אם קיימת נקודה  כך שמתקיים , אז לכל k טבעי, קיימת נקודה בתחום שיש לה מחזור באורך k.

את ההוכחה אני אחלק למספר שלבים, ואני מראש מזהיר שהיא תהיה לא מקיפה ולא מדויקת בעליל, אלא תעביר בעיקר את רוח הדברים. אז בואו נניח שאכן יש לנו מחזור באורך 3 במערכת, ונראה לאן זה לוקח אותנו.

משפט עזר 1 - אם I הוא תת-קטע סגור בתוך הקטע הסגור J, ו- הוא קטע המוכל בתוך  אז קיים בתוך I תת-קטע סגור  כך ש-. כלומר, אם נריץ את הפונקציה שלנו על כל נקודה בקטע , נקבל בדיוק את הקטע . זו טענה מעניינת מאוד, ואני ממליץ לכם לחשוב עליה קצת, כי היא לא מובנת מאליה (כאמור, את רוב הדברים פה אני לא אוכיח ממש). הסיבה שזה קורה היא שכמו שאמרנו, הפונקציה שלנו היא רציפה. זו דרישה די חזקה, והיא מספיקה כדי להבטיח לנו את התכונה הזו.

שימו לב שחוץ מהתובנה המעניינת, המשפט הזה נותן לנו על הדרך במתנה עוד משהו - אנחנו יכולים לראות בקלות שהוא נכון גם עבור כל חזקה של F. כלומר, לכל קטע סגור I ולכל קטע  שמוכל בתוך , תמיד קיים ב-I תת-קטע סגור  כך ש-.

משפט עזר 2 - אם I הוא קטע סגור ב-J כך ש-, אז יש ב-I נקודת שבת. כלומר, אם כשאנחנו לוקחים את הקטע I ומריצים את הפונקציה על כולו ואנחנו מקבלים קטע גדול יותר שמכיל את I בתוכו, אז יש בתוך I נקודה שנשארה במקום. גם פה, אני ממליץ לכם לעצור ולחשוב למה בדיוק זה נכון (הנושא של נקודות שבת ממש הדהים אותי בפעם הראשונה שנתקלתי בו).גם פה סוד הקסם טמון בזה שהפונקציה רציפה והקטע חסום. 

 

עכשיו נגיע לחלק המרכזי של ההוכחה, שבו אנחנו נשענים על שני משפטי העזר ועל זה שאנחנו מניחים שלפונקציה יש מחזור באורך 3, כדי להראות שבהינתן כל מספר טבעי k, אנחנו יכולים להוכיח שקיימת נקודה שיש לה מחזור באורך k:

 

נגדיר קטעים סגורים בתוך J באמצעות הנקודה המחזורית שלנו, A. ידוע כי . אז נגדיר בהתאם את הקטעים [A, B], [B, C], [A. C]. שימו לב לעובדה חשובה (שנובעת מזה שהפונקציה רציפה) - .

כעת, נשתמש במשפט עזר 1. אם נגדיר , אנחנו יודעים שקיים  כך שיתקיים , ומכאן שגם יתקיים . אני אחזור בצורה קצת יותר ברורה על התהליך - התחלנו עם קטע ממש קטן  בתוך [A, B], והפעלנו עליו את הפונקציה (כמו במשפט העזר הראשון) k-1 פעמים עד שקיבלנו את הקטע [A, B]. אז, הפעלנו את הפונקציה עוד פעם אחת, וקיבלנו את [A, C]. אבל שימו לב שבסופו של דבר, גם  היא בסך הכל פונקציה. ולא סתם פונקציה - היא עונה בדיוק על הקריטריון שלנו ממשפט עזר 2 - היא ממפה קטע סגור לקטע סגור גדול יותר שמכיל אותו. אם כן, על פי המשפט, חייבת להיות בה נקודת שבת. אז מה זה אומר לנו? זה אומר לנו שהפעלנו את הפונקציה k פעמים, ובסוף התהליך הייתה לנו נקודה שחזרה למקום המקורי שלה. כלומר - בהכרח הייתה קיימת נקודה שיש לה מחזור באורך k!

אני מקווה שעכשיו זה ברור למה היינו צריכים מחזור באורך 3 - פעם אחת צריך להפעיל את הפונקציה כדי להגיע מנקודה A ל-B (באופן שהגדיר לנו את הקטע הסגור הקטן), פעם שנייה צריך להפעיל אותה כדי ליצור את נקודת העזר שלנו C (הרחבת הקטע), ופעם שלישית כדי להחזיר את A למקום (להבטיח את נקודת השבת). ובזאת סיימנו את ההוכחה.

 

זו הוכחה לא פשוטה לקריאה (במיוחד בהתחשב בהבנה החלקית מאוד שלי בתחום ובזה שאני משחזר הרצאה מהראש), אבל אני מקווה שהרעיון הכללי מובן. כשחושבים על זה, זו תובנה די מדהימה - היא יכולה לספר לנו המון על מערכת מורכבת מסוימת, מבלי שנצטרך לדעת כמעט כלום על הפונקציה שמתארת אותה. כשמשתמשים בכלי הזה כדי להסתכל על תרביות של חיידקים, קצב התפשטות של אוכלוסיות, תופעות פיזיקליות ועוד המון דברים - הוא יכול להיות די עוצמתי.

_________________________________________________________________________

 

קיצור חברים, למקרה שלא מיציתי את הנאומים המרגשים בפעם הקודמת, עכשיו אני באמת רוצה להגיד תודה לכל מי שעבר פה. זה אתר עם הרבה אנשים מיוחדים, ואני באמת מאחל הצלחה לכל מי שפה גם אחרי שהמקום ייסגר. תמיד מוזמנים ליצור קשר.

כל טוב,

גלעד.


עריכה:

מאוד חימם את הלב שביקשתם שאעלה גיבוי של הפוסטים שלי לאתר אחר, והחלטתי ללכת על זה. מוזמנים להיכנס:

https://schwarzschildradius.blogspot.co.il/

יש שם לינק לעותק של כל הפוסטים הישנים (הודות לסקריפט המעולה של איגנציוס). זו עקרונית גם אחלה פלטפורמה בשביל שתשאירו לי לינקים לבלוגים החדשים שלכם כדי שנשמור על קשר.

שבוע טוב חברים.

נכתב על ידי , 7/12/2017 20:39   בקטגוריות מתמטיקה, הוכחות  
21 תגובות   הצג תגובות    הוסף תגובה   הוסף הפניה   קישור ישיר   שתף   המלץ   הצע ציטוט
 





Avatarכינוי: 

בן: 22




הבלוג משוייך לקטגוריות: מדע וטכנולוגיה
© הזכויות לתכנים בעמוד זה שייכות לקרל שוורצשילד אלא אם צויין אחרת
האחריות לתכנים בעמוד זה חלה על קרל שוורצשילד ועליו/ה בלבד
כל הזכויות שמורות 2018 © נענע 10 בע"מ