לדף הכניסה של ישרא-בלוג
לדף הראשי של nana10
לחצו לחיפוש
חפש שם בלוג/בלוגר
חפש בכל הבלוגים
חפש בבלוג זה




מלאו כאן את כתובת האימייל
שלכם ותקבלו עדכון בכל פעם שיעודכן הבלוג שלי:

הצטרף כמנוי
בטל מנוי
שלח

RSS: לקטעים  לתגובות 
ארכיון:


6/2017

חידה נחמדה + פגרת קיץ


בהשראת המסורת בכנסת ובבית המשפט, גם אני אהיה בתקופה הקרובה בפגרת קיץ זמנית. אחזור בעוד חודש בערך, בסוף יולי.

בינתיים, מוזמנים ליהנות מהחידה הבאה.

______________________________________________________________________

 

את החידה לקחתי מתוך "הספר הגדול של משחקי המחשבה" של איוון מוסקוביץ'. החידה מבוססת על בעיה מתמטית שלאונרד אוילר התעסק איתה בזמנו, שכתוצאה ממנה הומצא ענף מתמטי בשם "תורת הגרפים".  בהזדמנות אכתוב על הבעיה בפירוט, אבל בינתיים, הנה החידה עצמה:

 

בתמונה למטה 11 ציורים. המטרה שלכם היא לצייר בתוך כל ציור מסלול סגור לאורך הפסים השחורים שיתחיל ויסתיים באותה נקודה אדומה. במילים אחרות - צריך להתחיל ולסיים באותו קודקוד. המסלול צריך להיות רציף (בלי "להרים את העיפרון") ואסור לכם לחזור על אותו פס פעמיים - ברגע שהעיפרון עבר על פס מסוים, הוא "שרוף". אני מבהיר - מותר לעבור על אותה נקודה יותר מפעם אחת, אבל על אותו פס אסור.

הדוגמה הראשונה כבר פתורה באמצעות חצים כחולים, לשם המחשה.

 

 

מרבית הציורים אמורים להיות יחסית קלים לפתירה, אבל הטוויסט הוא שחלק מהציורים אי אפשר לפתור. המטרה האמיתית של החידה היא להבין אילו מהציורים לא ניתן לפתור, להוכיח שלא ניתן לפתור אותם ולהסביר איזו תכונה מתמטית יש לכולם במשותף. רמז - הרבה פעמים כדי להוכיח שמשהו לא אפשרי, כדאי לנסות להוכיח אותו על דרך השלילה - להניח שהוא אפשרי, ואז לראות אם זה מוביל למשהו לא הגיוני.

מי שהצליח להבין את התשובה, שינסה להסביר מדוע במפה שבתמונה, לא ניתן לתכנן טיול שיעבור דרך כל גשר פעם אחת בדיוק (בהנחה שאי אפשר לקפוץ לנהר):

 

______________________________________________________________________

 

הסיפור המלא של אוילר + הוכחה כשאחזור. בינתיים, תרגישו חופשי להגיב מה לדעתכם הפיתרון (אפשר גם כיוון כללי). אחזור במלוא המרץ בסוף יולי, אז אם עד אז מישהו רוצה להציע נושאים לכתיבה - בכיף.

נתראה! חיוך

נכתב על ידי קרל שוורצשילד , 24/6/2017 16:15   בקטגוריות חידות  
19 תגובות   הצג תגובות    הוסף תגובה   הוסף הפניה   קישור ישיר   שתף   המלץ   הצע ציטוט
 



עושים גלים (קוונטיים)


בפוסט הקודם דיברנו על משפט האי-תקשורת, שבא ליישב את הסתירה לכאורה בין התוצאות בניסויי בל לבין תורת היחסות הפרטית. משפט האי-תקשורת הציג בפנינו את רעיון הלוקליות החלשה, ובעצם הוכיח שפרשנות קופנהגן עומדת בהצלחה בכל מבחן שמבצעים עליה (למרות האופי הלא אינטואיטיבי שלה). אבל בסוף הפוסט התייחסתי לתוצאה מעניינת שצצה מתוך משפט האי-תקשורת - תוצאה שמציגה את האפשרות לקיומה של פרשנות נוספת למכניקת הקוונטים, כתורת משתנים חבויים לא לוקלית.

מה זה אומר? ואיך תורה כזו אמורה להיראות? היום (לאחר שבמשך עשרה פוסטים בערך התמקדתי בפרשנות קופנהגן) אני רוצה להציג פרשנות שונה לחלוטין למכניקת הקוונטים - תאוריית דה ברויי-בוהם. למי שלא מבין על מה לעזאזל אני מדבר, אני ממליץ לקרוא את הפוסטים הקודמים על מכניקת הקוונטים (במיוחד את מס' 9), כי הם יהיו מאוד רלוונטיים להבנת המשך הפוסט - 1, 2, ,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

 

מהי תורת דה ברויי-בוהם?

תורת דה ברויי-בוהם (שנקראת על שם שני הפיזיקאים המרכזיים שפיתחו אותה, לא ביחד דרך אגב) היא אלטרנטיבה לפרשנות קופנהגן של מכניקת הקוונטים. זו תורה שנולדה מתוך האי-נוחות (המוצדקת) שהרגישו פיזיקאים רבים כתוצאה מפרשנות קופנהגן הלא אינטואיטיבית. מטרתה היא לתת תיאור מדויק ושלם לתוצאות בניסויים של מכניקת הקוונטים, אבל תוך שמירה על כמה עקרונות חשובים שפרשנות קופנהגן מוותרת עליהם. בפרט - הריאליזם והדטרמיניזם.

כזכור, עמודי התווך המרכזיים של פרשנות קופנהגן הם האקראיות והאי-ודאות; מצבם של חלקיקים אינו מוגדר עד שמבצעים עליהם מדידה (הם נמצאים בסופרפוזיציה של מצבים שונים), וגם כאשר מתבצעת המדידה, מצבם נקבע באופן אקראי (על פי פונקציית הגל). רעיונות אלה זונחים באופן מפורש את עיקרון הריאליזם (שקובע כי כל מערכת פיזיקלית ניתנת לתיאור באופן מוחלט ומוגדר היטב) ואת עיקרון הדטרמיניזם (שקובע שבהינתן מצב ראשוני מסוים, המערכת תתנהג באופן צפוי לחלוטין על פי סט של כללים ברורים וניתנים לחיזוי).

כאשר פרשנות קופנהגן הגיעה וזרקה את שני העקרונות הללו מעבר לחלון, מדענים רבים לא הרגישו עם זה כל כך בנוח (כזכור, בדיוק מזה נבע במקור פרדוקס EPR), שכן שני העקרונות הללו נחשבו לרעיונות הכי יסודיים בפיזיקה עד אותה תקופה. לכן, תורת דה ברויי-בוהם באה ליישב את הבעייתיות הזו, ולנסח פרשנות יותר "קלאסית" למכניקת הקוונטים (אפילו שכפי שתראו בהמשך, התורה הזו היא רחוקה מקלאסית במהותה).

 

כיצד תורת דה-ברויי בוהם שונה מפרשנות קופנהגן?

כפי שבוודאי כבר הבנתם, ההבדל העיקרי בין שתי התורות הוא שתורת דה ברויי-בוהם "דורשת" התנהגות הרבה יותר חד-משמעית מהמערכות הפיזיקליות שהיא באה לתאר. בעוד שפרשנות קופנהגן מרגישה בנוח עם אמירות בסגנון "הספין של חלקיק נקבע באקראי לאחר שביצענו עליו מדידה", "החלקיק היה תיאורטית ביותר ממקום אחד בו זמנית" וכו', תורת דה ברויי-בוהם לא מקבלת טענות כאלה. לכל אובייקט יש מיקום ספציפי ומוגדר, וההתנהגות שלו היא דטרמיניסטית לחלוטין. קרי, כל האינפורמציה לחיזוי ההתנהגות העתידית של המערכת קיימת.

אבל מתוצאות הניסויים ברור לנו שלחלקיקים בקנה המידה הקוונטי יש הרבה התנהגויות שאנחנו לא יכולים להסביר באופן דטרמיניסטי. כיצד תורת דה ברויי-בוהם מסבירה דברים כאלה? פה אנחנו נתקלים שוב במושג המפתח - תורת משתנים חבויים. תורת דה ברויי-בוהם טוענת שהאינפורמציה שיכולה לשמש לחיזוי המערכת קיימת, אבל אנחנו פשוט לא יודעים את כולה. אם היה לנו את כל המידע, היינו יכולים להבין שמכניקת הקוונטים היא בכלל לא אקראית, אבל בגלל "הבורות" שלנו אנחנו פשוט לא מסוגלים לראות זאת.

בפוסט הקודם מישהו כתב לי בתגובות אנלוגיה יפה - הטלת מטבע. אמנם תהליך הטלת מטבע נראה אקראי מטבעו, אבל מן הסתם זה לא נכון. אם אתה יודע את כל המידע על המטבע - המסה שלו, המהירות שלו וכו' - אתה יכול לחזות בדיוק כיצד תסתיים הטלת המטבע. אבל מפני שאין לך את המידע, התהליך אקראי בעיניך. אותו דבר עם תורת המשתנים החבויים שהציעו דה ברויי-בוהם - המידע קיים, אנחנו פשוט לא יודעים אותו ולכן מפרשים אותו כאקראי.

 

אבל רגע, משפט בל לא שולל את קיומן של תורות משתנים חבויים?

מי שקרא את הפוסט על פרדוקס EPR זוכר שגם אז ניסו להגיד שמכניקת הקוונטים היא למעשה תורת משתנים חבויים, אבל משפט בל שלל את האפשרות הזאת. אז מה השתנה בעצם? מדוע הוא לא שולל את תורת דה ברויי-בוהם?

כמו הרבה דברים במכניקת הקוונטים, התשובה טריקית, וטמונה בפרטים הקטנים. אמנם משפט בל אכן שולל תורות משתנים חבויים, אבל רק במידה והן לוקליות. כלומר, משפט בל לא שולל תורות משתנים חבויים לא לוקליות (ותורת דה ברויי-בוהם היא אכן לא לוקלית). למען האמת, כשבל ניסח את המשפט, המסקנה שהוא רצה להביא אליה היא שמכניקת הקוונטים היא תורת משתנים חבויים לא לוקלית (אפילו שרוב האנשים משתמשים במשפט דווקא בתור חיזוק לפרשנות קופנהגן).

אז כדי לשמור על העקרונות הקלאסיים של הריאליזם והדטרמיניזם בתורת משתנים חבויים, תורת דה ברויי-בוהם עושה את הוויתור "הקטן" הזה על עיקרון הלוקליות.

 

אז איך תורת דה ברויי-בוהם באמת עובדת?

אמנם אני מציג את פרשנות קופנהגן ואת תורת דה ברויי-בוהם כשני צדדים שונים לחלוטין של מכניקת הקוונטים (וזה באמת מה שהן), אבל מפני שהן צריכות בסופו של דבר לפרש את אותן תוצאות אקספרימנטליות, יש להן גם המון במשותף. רעיון אחד ספציפי שמרכזי בשתיהן הוא רעיון פונקציית הגל, שנקבעת על פי משוואת שרודינגר. בטח לא הייתם מצפים לראות אותה בתורת משתנים חבויים, נכון? הרי בפרשנות קופנהגן, היא מסמלת בדיוק את כל מה שתורת דה ברויי-בוהם מנסה להימנע ממנו - התסברותיות, התנהגות לא חד משמעית וכו'. ההבדל הוא שבתורת זה ברויי-בוהם לפונקציית הגל יש הגדרה שונה מעט, באופן שהופך אותה לדטרמיניסטית ומוגדרת לחלוטין.

בואו ניקח בתור דוגמא את ניסוי שני הסדקים:

פרשנות קופנהגן מסבירה את תבנית ההתאבכות באמצעות האופי הגלי של החלקיקים - מפני שהחלקיק נמצא בסופרפוזיציה של מצבים שונים, הגלים ההסתברותיים מתאבכים אחד עם השני, באופן שגורם לחלקיקים להימדד באזורים מסוימים יותר מאחרים (כמובן, בשום שלב החלקיק לא באמת עובר באף אחד מהסדקים, מפני שמצבו לא מוגדר).

כיצד תורת דה ברויי-בוהם מסבירה את תבנית ההתאבכות? הרי אם מצב החלקיק מוגדר (והחלקיק באמת עובר בסדק אחד בכל פעם, ויש לו מסלול קבוע) לא אמורה להיות תבנית התאבכות.

מה שתורת דה ברויי-בוהם טוענת, זה שהתנועה של החלקיק נקבעת על ידי מעין "כוח" שנקרא הגל המנחה (מסיבה זו נהוג לכנות את התיאוריה "תורת הגל המנחה"). הגל המנחה של החלקיק נקבע על ידי שני גורמים - פונקציית הגל והמשתנים החבויים. בדומה לפרשנות קופנהגן, פונקציית הגל של חלקיק מוגדרת על ידי החלקיק עצמו והמערכת הפיזיקלית שבה הוא נמצא. פונקציית הגל יכולה להשתנות עם הזמן, בהתאם לשינויים במערכת. כאשר משלבים את פונקציית הגל עם המשתנים החבויים של תורת דה ברויי-בוהם, מקבלים את הגל המנחה, שבעצם אומר לחלקיק באיזה מסלול לנוע. המסלול שמכתיב הגל המנחה הוא זה שקובע את תבנית ההתאבכות.

 

(הפרשנות ההסתברותית של קופנהגן מראה כיצד תבנית ההתאבכות נוצרת כתוצאה מפונקציית הגל וסופרפוזיציית המסלולים השונים)

 

(בעוד שתורת דה ברויי-בוהם הריאליסטית טוענת שמלכתחילה לכל חלקיק היה מסלול מוגדר שנקבע על ידי הגל המנחה, שיצר את תבנית ההתאבכות)

 

כאמור, המשתנים החבויים בתורת דה ברויי-בוהם הם לא לוקליים. זה אומר שהמידע החבוי הזה נמצא בכל נקודה במרחב, ויכול לעבור באופן מיידי בין החלקים השונים של המערכת (כן, כן, יותר מהר ממהירות האור, כמו במקרה של מדידת הספין). זה בעצם מעיד על הפרה קצת יותר "חריפה" של הלוקליות ממה שהתרגלנו עד כה; במקרה של מדידת ספין, אמנם החלקיקים "מתקשרים" אחד עם השני באופן מיידי, אך שום מידע לא הועבר בין שתי המערכות (כפי שמדגים משפט האי-תקשורת). עם זאת, על מנת שהתיאוריה תהיה עקבית, המשתנים החבויים זקוקים לקצת יותר חופש פעולה מזה.

נחזור לניסוי שני הסדקים. כאשר בניסוי סוגרים את אחד מהסדקים, תבנית ההתאבכות נעלמת, והפיזור של החלקיקים שנמדד הוא "קלאסי" ואופייני לחלקיקים. פרשנות קופנהגן טוענת שזה מפני שכאשר סגרנו את אחד הסדקים, "אילצנו" את החלקיקים לעבור דרך סדק אחד בלבד, מה שהביא לקריסה מוקדמת של פונקציית הגל ולהתנהגות שהיא בעיקר חלקיקית. עם זאת, תורת דה ברויי-בוהם טוענת בגדול שאפילו שבכל אחד מהמקרים החלקיקים עברו בכל מקרה דרך סדק אחד בלבד (ונעו במסלול אחד), סגירת הסדק גרמה לשינוי בגל המנחה עצמו - הוא פשוט אמר לחלקיקים לנוע במסלול אחר. זה כמעט כאילו שברגע שיגור החלקיקים, הגל המנחה כבר "ידע" שיש רק סדק אחד לעבור ממנו - המידע הזה כבר היה ברשותו, אפילו שהחלקיקים עדיין לא הגיעו לאזור הסדק, והדבר השפיע על ההתנהגות בפועל של החלקיק. זה רעיון מאוד אופייני לתורות משתנים חבויים לא לוקליות - המידע נמצא בידי כל המערכת באופן מיידי (משתנים חבויים לא לוקליים = משתנים חבויים גלובליים).

 

אז מה הבעיה עם תורת דה ברויי-בוהם?

לא סתם אני עד עכשיו הצגתי כמעט הכל מנקודת המבט של פרשנות קופנהגן. כיום, זו הפרשנות הכי סטנדרטית של מכניקת הקוונטים. למה היא ולא דה ברויי-בוהם? במבט ראשון, האחרונה נראית כמו תיאוריה יותר קלאסית באופיה, שדורשת פחות ויתורים פילוסופיים ושמעניקה תוצאות זהות. אז מדוע היא נחשבת כיום תיאוריית שוליים? כפי שמיד נראה, חלק מהוויתורים שהיא דורשת מאיתנו לבצע מביאים למסקנות הרבה יותר מדאיגות מפרשנות קופנהגן.

מסתבר שלתורת דה ברויי-בוהם יש בעיה מרכזית אחת, שנקראת משפט קוכן-שפקר. משפט קוכן-שפקר מוכיח שכל ניסיון להסביר את מכניקת הקוונטים באמצעות תורת משתנים חבויים דטרמיניסטית מחייבת הקרבה של עיקרון פילוסופי נוסף במדע - אי-קונטקסטואליות (זה העיקרון המדעי האחרון שאני עומד להציג, נשבע).

אי-קונטקסטואליות זה עיקרון שקובע שהאופן שבו מבצעים את המדידה לא אמור להשפיע באופן חד משמעי על התוצאה. נשמע סביר, לא? נראה הגיוני שכל תורה מדעית צריכה לטעון שזה לא משנה באיזה רקע ניסויי נשתמש, או באיזה מכשיר מדידה נבחר, המדידות שלנו יעניקו את אותן תוצאות (כי המטרה של מדידה היא בסופו של דבר להציג את התכונות "האמיתיות" של החלקיק). פרשנות קופנהגן עוקפת את כל זה, מפני שהיא מלכתחילה לא יוצאת מנקודת הנחה שהתכונות של חלקיק הן מוגדרות מראש. אבל תורת דה ברויי-בוהם טוענת שהתכונות של חלקיק אכן קבועות ומוגדרות, ולכן היינו מצפים שהיא תשמור על אי-קונטקסטואליות. עם זאת, משפט קוכן-שפקר מאלץ את תורת דה ברויי-בוהם להציג תכונות קונטקסטואליות (כלומר, מערכות אקספירימנטליות שונות יכולות לתת מדידות שונות לאותו גודל פיזיקלי). זה לא שתורת דה ברויי-בוהם נותנת תחזיות סותרות או לא נכונות בנוגע לגדלים הנמדדים האלה - התחזיות הן מדויקות ודטרמיניסטיות לחלוטין; אבל זה עדיין בעייתי שתורה דטרמיניסטית מפגינה תכונות קונטקסטואליות. בעיית הקונטקסטואליות הזאת, אגב, מוגדרת רק לגבי גדלים פיזקליים מסוימים, כמו ספין (שגם ככה הפגין בעייתיות בכל פרשנות שבחרנו. ספין מוזר בקטע הזה).

סיבה נוספת שתורת דה ברויי-בוהם לא זוכה להכרה רבה היא שלמרות הפשטות שלה על פני השטח, היא עדיין דורשת שינויים פרדיגמתיים די חזקים, וכוללת כמה רעיונות שנתפשים לעתים כמורכבים מדי. כך, למשל, רבים חושבים שאין צורך לטעון את קיומו של כוח קוונטי חדש ומסתורי בשם "הגל המנחה", כשפרשנות קופנהגן נותנת תיאור מדויק של המציאות גם בלעדיו.

בנוסף, לפרשנות קופנהגן יש יתרון על תורת דה ברויי-בוהם בכך שהיא פשוט מאוד הרבה יותר מפותחת - יש הרבה תופעות שהיא מסוגלת להסביר שתורת דה ברויי-בוהם כרגע לא מסוגלת, פשוט מאוד כי האחרונה לא זכתה לתמיכה הולמת מצד קהילת המדע (תופעות אלה נקשרות בעיקר בתורת היחסות הפרטית ובתורת השדות הקוונטית).

 

אז מי התיאוריה הטובה יותר?

שאלה מצוינת - אין לי שמץ.

אני מוכרח להודות שיש בי צד שהיה רוצה שתורת דה ברויי-בוהם תהיה נכונה. יש משהו מאוד מנחם בלגלות שהיקום לא מוזר כמו שחשבנו, שלכל חלקיק יש תכונות מוגדרות ושחוקי הטבע לא כוללים אלמנטים של אקראיות. מצד שני, אני מאוד מודע למגבלות של תורת דה ברויי-בוהם ולקופסות השרצים שהיא פותחת, במיוחד בגלל משפט קוכן-שפקר. למען האמת, אני חושב שבמובנים מסוימים תורה לא-לוקלית וקונטקסטואלית יכולה לעתים להיות הרבה יותר מוזרה מתורה שמוותרת על הריאליזם ועל הדטרמיניזם.

בסופו של דבר, כך או כך הכל כרגע בגדר ספקולציות. אף אחת מהתורות לא באמת "טובה" יותר מהאחרת - לשתיהן יש מעלות ומגבלות. זה בעיקר תלוי בשאלה - אילו עקרונות חשובים לך יותר בתורה מדעית ועם מה אתה מרגיש יותר בנוח. ולכו תדעו, אולי יום אחד נגלה ששתי התיאוריות לא נכונות, ושיש למעשה איזו אופציה שלישית שבכלל לא שקלנו.

כך או כך, אני חושב שאפשר להגיד בביטחון רב שלא משנה באיזו פרשנות של מכניקת הקוונטים נבחר להאמין, אנחנו נצטרך לצאת מהרבה קונספציות ישנות שיש לנו בנוגע למציאות שלנו, ולהאמין בהרבה דברים שנראים לנו לא הגיוניים מחיי היום-יום.

____________________________________________________________________________

 

שמח לבשר שלדעתי כיסיתי את כל הנושאים החשובים במכניקת הקוונטים שרציתי לעבור עליהם, מה שאומר שבגדול סיימנו עם סדרת הפוסטים הזו (לפחות לבינתיים). יש עוד כל מיני ניסויים ואנקדוטות שהייתי רוצה לעבור עליהם בהזדמנות, אבל אלה היו הרעיונות העיקריים. השלב הבא (שיבוא מאוד מאוד בהדרגתיות) הוא הסבר על כיצד מכניקת הקוונטים משתלבת במודלים כיום בנוגע למבנה החומר וטבע המציאות - ממה מורכבים האטומים, מה המשמעות של "כוח טבע" וכו'. יהיה כיף.

זה השלב שאני מבקש לשמוע מכם מה דעתכם על הפוסט. האם הכל היה ברור? האם יש משהו שדורש הבהרה? מי לדעתכם יותר הגיונית - פרשנות קופנהגן או תורת דה ברויי-בוהם? מדוע? מחכה לשמוע מה אתם חושבים. בנוסף, כרגיל, אני פתוח להצעות שלכם על נושאים לכתיבה.

שיהיה שבוע טוב!

 

נכתב על ידי קרל שוורצשילד , 17/6/2017 16:37   בקטגוריות מכניקת קוונטים, פיזיקה  
6 תגובות   הצג תגובות    הוסף תגובה   הוסף הפניה   קישור ישיר   שתף   המלץ   הצע ציטוט
 



לשחק בקלפים במרחב וקטורי


מי פה מכיר את משחק הקלפים "סט"? נחשפתי למשחק לראשונה כשהייתי ילד, ומאז הוא נהפך לנכס צאן ברזל אצלי בבית. זה משחק שמשלב זריזות, חשיבה לוגית ולפעמים קצת אלימות (אם שני אנשים מוצאים סט באותו זמן). הפוסט עומד לעסוק בכמה תכונות מתמטיות מעניינות של המשחק, אז למי שלא מכיר את המשחק, אני אתחיל בהסבר על איך הוא עובד. מי שמכיר את המשחק מוזמן לדלג על המבוא. זה פוסט שכולל לא מעט מונחים מתמטיים והוא עלול להיות טיפה לא פשוט למי שאין לו רקע בסיסי (אפילו שהכל מוסבר לאורך הפוסט), אבל אני חושב שהוא נותן שיעור נחמד על יכולת ההפשטה של המתמטיקה.

 

איך משחקים סט?

המשחק כולל המון קלפים עם ציורים שונים, כאשר לכל קלף ארבעה מאפיינים - צורה, צבע, מספר צורות ומילוי. ישנן שלוש צורות שונות (יהלום, גל ואליפסה), שלושה צבעים (אדום, ירוק וסגול), שלושה מספרי צורות (צורה אחת, שתי צורות או שלוש) ושלושה סוגי מילוי (מלא, מפוספס או ריק). חפיסת הקלפים כוללת כל קומבינציה אפשרית של ארבע התכונות הללו, כלומר -  קלפים שונים.

בתחילת כל משחק, פורשים על הלוח כמות מסוימת של קלפים (לרוב 9 או 12) והמטרה של כל שחקן היא למצוא כמה שיותר סטים (בכל פעם ששחקן מוצא סט, הוא לוקח את הקלפים שמרכיבים אותו ומניח קלפים חדשים במקומם).

 

(כך נראים הקלפים במשחק לאחר הסידור)

 

אז מה נחשב סט? סט מורכב משלושה קלפים המקיימים את הכלל הבא - עבור כל אחד מארבעת המאפיינים, שלושת הקלפים שונים אחד מהשני או זהים אחד לשני. כלומר, הקלפים צריכים לקיים את ארבעת התנאים הבאים:

1. הצורה של שלושתם צריכה להיות זהה או שלכל אחד תהיה צורה שונה מלאחרים.

2. הצבע של שלושתם יהיה זהה או שלכל אחד יהיה צבע שונה מלאחרים.

3. על כל קלף יהיה אותו מספר של צורות או שעל כל קלף יהיה מספר שונה מלאחרים.

4. לכל קלף יהיה אותו מילוי או שלכל קלף יהיה מילוי שונה מלאחרים.

 

בתמונה למעלה ניתן למצוא מספר סטים. כך, למשל, ניתן להרכיב סט משלושת הקלפים בשורה התחתונה שמכילים צורה אחת - שלושת הקלפים נבדלים אחד מהשני בצורה, במילוי ובצבע, ויש להם את אותו מספר של צורות. נסו בעצמכם למצוא סטים נוספים בתמונה, לשם התרגול.

 

למה אנחנו מדברים על סט? או - אלגברה ליניארית על קצה המזלג

לפני כמה ימים הלכתי ברחוב ובשלב מסוים המשחק קפץ לי לראש. התחלתי לחשוב על המשמעות של שלושה קלפים שיוצרים ביחד סט, ופתאום התחלתי בבת אחת לחשוב על אלגברה ליניארית.

אלגברה ליניארית זה ענף במתמטיקה שעוסק במרחבים וקטוריים. מרחב וקטורי הוא סוג של מערכת מתמטית שרכיביה נקראים "וקטורים". יש הרבה דרכים להסביר מה זה וקטור; דרך אחת היא לחשוב על וקטורים בתור רשימות של מספרים שניתן לבטא באמצעותן נקודות וטרנספורמציות במרחב. דרך אחרת לחשוב על וקטורים היא בתור חצים עם גודל וכיוון. אני ממליץ על מעין גישת ביניים:

בואו נסתכל על מערכת צירים דו-מימדית. וקטור בתוך המערכת הזו הוא רשימה של שני מספרים - ערך X וערך Y. המספרים הללו מגדירים את הווקטור על כל תכונותיו. ניקח לדוגמה את הווקטור (3,4) במערכת הצירים הדו-מימדית. ניתן לחשוב עליו כחץ שמחבר את הראשית עם הנקודה (3,4):

 

 

ניתן לעשות את אותו דבר גם בשלושה מימדים, או ארבעה או בכל מרחב שנבחר. וקטורים ומרחבים וקטוריים הם כלים מתמטיים מאוד שימושיים בהמון תחומים שונים (אני מכיר אותם בעיקר מפיזיקה). ניתן לייצג באמצעותם תכונות ופעולות שונות במערכת מסוימת. באמצעות שימוש במרחב הווקטורי הנכון, ניתן לייצג באופן מתמטי המון מערכות שונות.

 

אבל מה הקשר למשחקי קלפים?!

הסיבה שהמחשבה שלי נדדה באופן פתאומי מסט לאלגברה ליניארית היא שפתאום הבנתי שכל קלף במשחק ניתן לייצג בתור וקטור ארבע-מימדי (כלומר, רשימה של ארבעה מספרים), כאשר כל מספר ברשימה ייתן ייצוג לאחת מארבע התכונות של קלפי המשחק. כך, נוכל לייצג כל קלף באמצעות וקטור מהפורמט הבא - (מילוי, מספר, צבע, צורה), תוך שימוש בקידוד הבא:

- יהלום = 0, גל = 1, אליפסה = 2.

- אדום = 0, ירוק = 1, סגול = 2.

- צורה אחת = 0, שתי צורות = 1, שלוש צורות = 2.

- מלא = 0, מפוספס = 1, ריק = 2.

זה הקידוד שנוח לי להשתמש בו, אבל עקרונית ניתן להשתמש בהרבה קידודים שונים לביטוי הקלפים בתור וקטורים. כך, לדוגמה, את הווקטור השמאלי העליון שבתמונה (מלא, שלוש צורות, ירוק, גל) ניתן לבטא באמצעות הווקטור (0, 2, 1, 1). אני לא יכול לצייר לכם איך נראה וקטור כזה במערכת צירים, מפני שאין לנו יכולת לראות צורות בעלות יותר משלושה מימדים, אבל העיקרון זהה לחלוטין לווקטורים שציירתי במערכת הצירים הדו-מימדית.

בסדר, יש לנו דרך לבטא את הקלפים בתור וקטורים ארבע-מימדיים. אבל אנחנו צריכים גם להחליט על המרחב הווקטורי שאנחנו נמצאים בו. מטעמי נוחות, נגדיר מרחב וקטורי שייקרא . מה זה אומר?

א) המספר 4 אומר לנו שהווקטורים שמרכיבים את המרחב הם ארבע-מימדיים (כמו הקלפים שלנו).

ב) המספר 3 אומר לנו שהמרחב הווקטורי נמצא מעל השדה (3)GF. כל מרחב וקטורי נמצא מעל שדה מסוים (שדה המספרים הממשיים, שדה המספרים המרוכבים וכו'). מה שמיוחד בשדה שאני בחרתי, זה שהוא שדה שכולל רק שלושה מספרים - 0, 1, 2 (קל להבין מדוע זה שימושי במקרה שלנו). השדה מורכב כך שכל מספר בו מיוצג במודולו 3, כלומר - במקום להשתמש במספר עצמו, אנחנו מחלקים אותו ב-3 ומשתמשים בשארית שלו. לדוגמא - 4 במודולו 3 זה 1, מפני שאם מחלקים את 4 ב-3 השארית היא 1. מערכת הצירים הדו-מימדית במודולו כזה נראית בערך ככה:

 

 

התמונה הזו היא המחשה שימושית, אך טיפה מטעה - למעשה, אין לנו צורך בכל ציר המספרים; רק במספרים 0, 1, 2 הקרובים ביותר לראשית. במידה ואנחנו מעוניינים לייצג את המספר 4 בשדה שלנו (שבמקומו מוצב המספר 1), אנחנו לא משתמשים ב-1 שנמצא במקום הרביעי בציר המספרים, אלא פשוט ב-1 הקרוב ביותר לראשית. פשוט תדמיינו שה-1 הזה יכול לייצג כל מספר על ציר המספרים ששווה 1 במודולו 3.

שדות מהסוג הזה נקראים שדות סופיים, שכן נדרשת כמות סופית של מספרים כדי לתאר את האיברים בו (בניגוד לשדה המספרים הממשיים, למשל, שיש צורך בכל אינסוף המספרים הממשיים כדי לתאר את כל האיברים בו).

(הערה למי שיש לו קצת יותר רקע - קל יותר להסתכל על   כמרחב אפיני, אבל אני לא בקטע של להיכנס לסמנטיקה פה)

 

למה שנרצה לייצג קלפים בתוך מרחב וקטורי?

במילה אחת - הפשטה. יש למשחק הזה הרבה תכונות מעניינות, שלגלות אותן בצורה רגילה זה בלתי אפשרי, אבל באמצעות ייצוג המשחק במרחב וקטורי ניתן לראות אותן בקלות יחסית.

בואו נחזור לתהייה המקורית שלי - מה מגדיר סט? מה כל כך מיוחד בשלושה קלפים שיוצרים סט? מה הקשר ביניהם?

בואו ניקח לדוגמה את הסט שהצגתי בתחילת הפוסט, ונייצג את שלושת הקלפים שמרכיבים אותו באמצעות וקטורים במרחב שלנו - (2, 0, 0, 2), (1, 0, 2, 0), (0, 0, 1, 1). כעת, נסתכל על שלושת הווקטורים, אחד ליד השני,בתוך מטריצה:

 

 

מבט מהיר וכבר שמנו לב לתכונה מעניינת - בכל טור במטריצה, סכום המספרים זהה - אפס בדיוק (זכרו, אנחנו עובדים בחשבון מודולרי, בו 3=0). במילים אחרות - הסכום של שלושת הווקטורים שווה ל-0 (בחיבור וקטורים, מחברים את הרכיבים המתאימים בכל וקטור - דבר השווה ערך לסכימת טורי המטריצה). האם יכול להיות שזה צירוף מקרים ספציפי לסט שבחרנו? מיד נראה שלא.

שוב, בואו נחשוב מה המשמעות של שלושה קלפים שיוצרים סט. זה אומר שעבור כל תכונה, הם או זהים או שונים לחלוטין. כלומר, בווקטור שמייצג כל קלף, צריך או שכל מאפיין בכל קלף יהיה אותו מספר, או שכל מאפיין בכל קלף יהיה מספר שונה מהאחרים. במקרה שבו המאפיינים של כל קלף זהים (0, 1 או 2), ברור שסכום הווקטורים יהיה שווה 0 - הרי בחשבון המודולרי שלנו, 1 + 1 + 1 = 2 + 2 + 2 = 0 + 0 + 0 = 0. גם במקרה שבו רכיבי הווקטורים שונים אחד מהשני (כלומר, רכיב אחד שווה 0, השני שווה 1 והשלישי שווה 2), סכום הווקטורים עדיין נשאר 0, מפני שכאמור - 0 + 1 + 2 = 0.

אז בואו נסיק את המסקנה שלנו בנוגע לסט באמצעות המשפט הבא - שלושה קלפים (a, b, c) מהווים סט אם ורק אם בייצוגם הווקטורי מתקיים השוויון - .

 

קל להוכיח באמצעות חשבון מודולרי, שבשדה שבחרנו, אם , אז בהכרח גם . למה זה עוזר לנו?

זוכרים שחשבנו על וקטורים כעל חצים? אז לחצים האלה יש תכונה חשובה - אם ההפרש של הווקטורים שווה (כפי שהוכחנו), זה אומר ששלושת קצוות הווקטורים (כלומר, שלוש הקואורדינטות שלהם) הם קוליניארים. במילים אחרות - שלוש נקודות הקצה נמצאות על ישר אחד. אם כן, ניתן לנסח משפט נוסף, השקול למשפט הקודם:

שלושה קלפים (a, b ,c) מהווים סט אם ורק אם הקואורדינטות של הווקטורים של שלושת הקלפים הן קוליניאריות.

במילים אחרות - המטרה במשחק "סט" היא למצוא שלשות של וקטורים עם קצוות קוליניאריים במרחב הווקטורי .

 

ועכשיו לחלק המגניב

בואו נעצור לשנייה ורק נתפעל לרגע ממה שהשגנו עד כה - הצלחנו לקחת משחק קלפים ולנסח את החוקים שלו בשפה של מרחבים וקטוריים. זה לא מדהים? אבל רגע, אנחנו אפילו יכולים לקחת את זה הלאה, ולהשתמש בזה כדי לגלות דברים מעניינים.

את המשפטים שהצגתי עד עכשיו גיליתי בעצמי, והרעיון ממש הלהיב אותי. למעשה, כל כך התלהבתי מהרעיון שהחלטתי לעשות חיפוש בגוגל כדי לראות אם עוד מישהו נתקל בתכונה הזו בעבר. מהחיפוש התברר לי שאני ממש לא הראשון ששם לב לתכונות המתמטיות של המשחק. יותר מכך, נתקלתי בכמה מאמרים שהשתמשו במשפטים שהוכחתי כדי להפיק תובנות על המשחק.

קחו, לדוגמה, את השאלה הבאה - מהו המספר המקסימלי של קלפים שניתן לפרוש על לוח המשחק, כך שלא יהיה קיים שום סט חוקי? מי ששיחק בעבר במשחק יודע כמה מתסכל זה לבהות בקלפים ולא למצוא שום סט, ובלית ברירה להוסיף עוד ועוד קלפים עד שמישהו מוצא סט סוף סוף. קרה לי המון פעמים שסירבתי בתוקף להוסיף עוד קלפים ללוח המשחק פשוט כי אמרתי לעצמי - "אין מצב שבלוח שמכיל 15 קלפים אין שום סט חוקי".

אבל מסתבר שזה דווקא אפשרי. למעשה, באחד המאמרים שנתקלתי בהם, כותב המאמר הוכיח מתמטית כי במצב קיצוני ניתן לפרוש עד 20 קלפים על לוח המשחק מבלי שיהיה אפילו סט חוקי אחד. אני לא אכתוב פה את ההוכחה המלאה (הפוסט מספיק ארוך בלאו הכי), אבל היא התבססה בדיוק על המשפט שהוכחנו למעלה.

כותב המאמר פשוט ניסח את השאלה מחדש - במקום לשאול על קלפים, הוא שאל - "מהי הכמות המקסימלית של וקטורים שניתן לפרוש במרחב הווקטורי   כך ששום נקודת קצה של וקטור לא תהיה קוליניארית עם נקודת קצה אחרת?". אם תחשבו על זה קצת, תוכלו לראות שהשאלה הזו היא שוות ערך בדיוק לשאלה "מהו המספר המקסימלי של קלפים שניתן לפרוש כך שלא יהיה סט חוקי?". החלק הטוב הוא שלניסוח המתמטי יש פיתרון מוכח - 20 (אגב, הפיתרון הזה התגלה שנים לפני שהמשחק סט בכלל הומצא).

 

כוחה של ההפשטה

זו דוגמה לתובנה אחת שניתן להפיק על המשחק באמצעות הייצוג הווקטורי שבחרנו, אבל יצא לי להיתקל בעוד הרבה מאמרים שמוכיחים שלל תכונות מעניינות של המשחק. אמנם אני לא חושב שבזמן הקרוב אני אתחיל להשתמש במרחבים וקטוריים כדי לנסות למצוא אסטרטגיות מנצחות בסט, אבל בכל זאת נחמד לראות איך אני יכול להשתמש במבנים אלגבריים שאנשים חקרו לפניי כדי לגלות דברים חדשים על משחק שאני משחק בו כבר שנים.

זה מה שיפה במתמטיקה בעיניי - הכלים בה כל כך מופשטים, שניתן לתרגם מגוון עצום של מערכות לשפה מתמטית ולהשתמש בה על מנת להפיק תובנות יפות. אם אנשים הפיקו כל כך הרבה תובנות בנוגע לסט, תחשבו כמה שימושית מתמטיקה יכולה להיות בתחומים אחרים.

 

והנה כמה שאלות למחשבה, למי שנהנה לקרוא:

1. הוכיחו שעבור כל שני קלפים, קיים קלף אחד ויחיד שמשלים אותם לסט.

2. נסו להשתמש במשפט שהוכחתם בשאלה 1 כדי לחשב את כמות הסטים המקסימלית שניתן להרכיב באמצעות לוח עם שישה קלפים. (רמז: שימו לב לתכונה הבאה שנובעת מהמשפט - לשני סטים שונים יכול להיות רק קלף אחד משותף)

3. למי שיצא לעבוד עם מטריצות - הסתכלו על איבר כללי במטריצת הסטים שלנו. מה ניתן להגיד על הדרגה של המטריצה? איך זה נקשר למה שאנחנו כבר יודעים?

4. האם יש לכם דוגמאות למערכות יום-יומיות נוספות שניתן לבטא באמצעות מרחב וקטורי?

_______________________________________________________________________________

 

אני מקווה שהפוסט היה ברור יחסית, למרות העגה המתמטית שהוא כולל. במידה ולא - תרגישו חופשי לשאול שאלות ולבקש הרחבות. (וגם אם לא הכל היה ברור, אני מקווה שלפחות גיליתם על משחק חדש וכיפי)

אני תמיד שמח לשמוע מה דעתכם על הפוסטים, ובמיוחד היום, מפני שהפוסט הוא ברובו פיתוחים מתמטיים שפיתחתי בעצמי. אם בא לכם לקרוא עוד על התכונות המתמטיות של המשחק סט, רק תגידו! (וכרגיל, מוזמנים להציע כל נושא שבא לכם לקרוא עליו)

מוצ"ש נעים!

נכתב על ידי קרל שוורצשילד , 10/6/2017 16:14   בקטגוריות הוכחות, מתמטיקה  
18 תגובות   הצג תגובות    הוסף תגובה   הוסף הפניה   קישור ישיר   שתף   המלץ   הצע ציטוט
 



לדף הבא
דפים:  

Avatarכינוי:  קרל שוורצשילד

בן: 21




הבלוג משוייך לקטגוריות: מדע וטכנולוגיה
© הזכויות לתכנים בעמוד זה שייכות לקרל שוורצשילד אלא אם צויין אחרת
האחריות לתכנים בעמוד זה חלה על קרל שוורצשילד ועליו/ה בלבד
כל הזכויות שמורות 2017 © נענע 10 בע"מ