לדף הכניסה של ישרא-בלוג
לדף הראשי של nana10
לחצו לחיפוש
חפש שם בלוג/בלוגר
חפש בכל הבלוגים
חפש בבלוג זה




מלאו כאן את כתובת האימייל
שלכם ותקבלו עדכון בכל פעם שיעודכן הבלוג שלי:

הצטרף כמנוי
בטל מנוי
שלח

RSS: לקטעים  לתגובות 
ארכיון:


10/2017

שידוכים יציבים של גיבורי על + פוסט אחרון לתקופה הקרובה


היום אני רוצה לדבר על "משחק" מפורסם בתורת המשחקים שעוסק בהתאמת זוגות שחקנים על פי ההעדפות שלהם. המשחק לרוב מתואר באמצעות מטאפורה של שידוכים לנישואים, ולכן כדי לחרוג מהמסורת הקלישאתית אני אציג אותו באור טיפה אחר. אז הנה הסיפור שלנו:

 

גיבורים ונבלים

אני ראש העיר מטרופוליס (שבה סופרמן מתגורר) ויום אחד הוא מגיע אליי בתלונה הבאה - משעמם לו. כבר המון זמן לא הגיע איזה נבל-על מעניין שאפשר להילחם בו, והוא מרגיש שחוק מכל העניין. לי, כמובן, חשוב שסופרמן ישמור על עניין מקצועי (כי אחרת כשיהיו צרות הוא לא ייעתר לבקשות העזרה שלי), ולכן אני אומר לו שאחשוב על העניין ואמצא פתרון עבורו.

לאחר מחשבה, אני יוצר קשר עם ראש העיר גותהאם (שבה מתגורר באטמן) וחולק איתו את הסיטואציה שלי, כדי שאולי יעזור לי למצוא איזה נבל מעניין לסופרמן. באופן מפתיע, הוא אומר לי שגם הוא (!) חווה את אותם קשיים, ובאטמן פנה אליו בטענה שאין לו מה לעשות, ושגם הוא מחפש פתרון בימים אלה. הוא גם אומר לי לא לטרוח אפילו לדבר עם ראש העיר ניו-יורק (בה מתגורר ספיידרמן), כי גם הוא באותה סירה ואין לו מושג מה לעשות.

בצעד מלא תושייה, אני מחליט לבצע מעשה ומפרסם בכל העיתונים בארצות הברית מודעה - "עבור שלושה גיבורי על, דרושים שלושה נבלים מוכשרים". לאחר אלפי בקשות מועמדות, אני ושני ראשי הערים האחרים מוצאים שלושה נבלי-על מושלמים - לקס לותר, הג'וקר ודוקטור אוקטופוס. אבל עכשיו אחרי שמצאנו את שלושת הנבלים שלנו, צריך להחליט - איזה נבל יישלח לאיזו עיר?

אני וראשי הערים האחרים נותנים לשלושת גיבורי העל ולשלושת הנבלים למלא טופס העדפות, בו כל גיבור מדרג ברשימה את סדר ההעדפות שלו בנוגע לנבלים (מקום ראשון, שני ושלישי) וכל נבל מבצע דירוג דומה על שלושת גיבורי העל (אנחנו לוקחים את ההעדפות של הגיבורים ושל הנבלים באותה רצינות, כי חשוב שגם הנבל ירגיש סיפוק מקצועי). והנה עולה השאלה המרכזית של הסיפור - האם יש דרך "לשדך" נבל לכל גיבור באופן אופטימלי? כיצד נבצע את אותו שידוך?

 

בעיית השידוך היציב

בעיות מהסוג הזה, שנקראות בעיות שידוך יציב, הן מאוד נפוצות ומאוד חשובות בתורת המשחקים. בין אם זה שידוך בין קבוצת רווקים ורווקות לחתונה, התאמה בין סטאז'רים ברפואה להתמחויות בבתי חולים ועוד המון דוגמאות - זה מאוד נפוץ בחיי היום-יום שאנחנו צריכים "לזווג" בין שחקנים בקבוצות שונות, כתלות בהעדפות של כל שחקן ושחקן. שתי השאלות הכי חשובות בתחום הזה הן - האם לכל שתי קבוצות שוות קיים שידוך יציב? ואם כן, כיצד מוצאים אותו?

נתחיל בהגדרה - מהו בדיוק שידוך יציב? זה משהו שחשוב להגדיר אותו (בהתחשב בזה שזה המונח המרכזי בבעיה שלנו), ואני דווקא אתחיל בלתת דוגמה למתי שידוך הוא לא יציב. נגיד שסופרמן הכי רוצה להילחם בלקס לותר וגם לקס לותר הכי מעדיף את סופרמן. אז דוגמה לשידוך לא יציב היא [סופרמן, ג'וקר], [ספיידרמן, לקס לותר]. הסיבה שהשידוך הזה הוא לא יציב היא שבמצב כזה (שסופרמן ולקס לותר הכי מעדיפים אחד את השני אבל לא משודכים אחד לשני) אין שום דבר שמונע מלקס לותר "לבגוד" בספיידרמן ולעבור לגור במטרופוליס כדי להילחם בסופרמן. באופן כללי - שידוך ייקרא לא יציב אם קיימים שני שחקנים שמעדיפים לבגוד במי ששידכו להם במקור כדי שיוכלו להיות אחד עם השני. אז באותו אופן, שידוך יציב הוא שידוך שבו אף אחד לא יכול לבגוד - לא קיימים שני זוגות שמכילים שני שחקנים כך ששני השחקנים יעדיפו להחליף את בני הזוג הנוכחיים שלהם אחד בשני.

אז מה דעתכם - יש לנו סיבה להאמין שעבור כל קבוצות שידוכים (ללא תלות בכמות השחקנים או ברשימת ההעדפות) קיים שידוך יציב לכולם? כיצד נוכל למצוא אותו?

 

משפט גייל-שפלי

המשפט הנהדר הזה (שהוכח בשנת 1962 והיה סיבה חלקית לזכייה בפרס נובל לכלכלה של לויד שפלי) מטפל במשחקי שידוך יציב, ועונה בדיוק על שתי השאלות שהצבנו - לא רק שהוא מוכיח שקיים שידוך יציב בכל סיטואציה אפשרית, הוא אפילו מספק לנו אלגוריתם מפורש שבאמצעותו נוכל למצוא אחד כזה (לפעמים קיים יותר משידוך יציב אחד). לפני שנוכיח את המשפט, אני רוצה שנסתכל על האלגוריתם עצמו ונבין איך בדיוק הוא עובד. אז לצורך הדוגמה, בואו נסתכל על טבלאות הדירוגים של גיבורי העל והנבלים:




מהטבלאות קצת קשה להבין בבירור כיצד תיראה החלוקה הסופית לזוגות יציבים (למשל, שני גיבורים דירגו את ג'וקר במקום הראשון, אבל הוא יכול להשתדך רק לאחד מהם), ולכן נשתמש באלגוריתם של גייל ושפלי. האלגוריתם מבוסס על זה שבכל שלב, גיבורי העל שאין להם כרגע נבל "מציעים שידוך" לנבלים המועדפים עליהם, והנבלים בוחרים אחד מהגיבורים שהציעו להם לפי סדר ההעדפות שלהם (במטרה לקבל בסופו של דבר את השידוך שהכי מתאים להעדפה האישית שלהם), עד שמגיעים למעין נקודת עצירה טבעית. כך זה נראה:

- בסיבוב הראשון סופרמן מציע שידוך לדוקטור אוקטופוס, באטמן וספיידרמן מציעים שידוך לג'וקר. דוקטור אוקטופוס מסכים להצעה של סופרמן (אפילו שהוא לא ההעדפה הראשונה שלו), כי אף אחר לא הציע לו. הג'וקר קיבל שתי הצעות, והוא מסכים לזאת של הגיבור שהוא דירג יותר גבוה - באטמן. ללקס לותר אף אחד לא הציע ולספיידרמן אף אחד לא הסכים, אז הם נשארים כרגע בלי שידוכים. אז הזוגות הם כרגע - [סופרמן, דוקטור אוקטופוס], [באטמן, ג'וקר].

- בסיבוב השני הגיבור שנשאר בלי נבל - ספיידרמן - מציע להעדפה השנייה שלו (שהיא דוקטור אוקטופוס). מפני שדוקטור אוקטופוס מעדיף את ספיידרמן על סופרמן, הוא נוטש את סופרמן ונהיה בן זוג של ספיידרמן (וסופרמן נשאר לבד לסיבוב הזה). הזוגות כרגע הם - [באטמן, ג'וקר], [ספיידרמן, דוקטור אוקטופוס].

- בסיבוב האחרון של האלגוריתם, סופרמן (שנשאר בלי נבל) מציע להעדפה הבאה שלו - לקס לותר. ללקס לותר אין כרגע שידוך, ולכן הוא מסכים. בזאת יש לנו שלושה זוגות יציבים - [סופרמן, לקס לותר], [באטמן, הג'וקר], [ספיידרמן, דוקטור אוקטופוס]. ברכות ואיחולים!

(נסו לוודא בעצמכם שאין במצב הנ"ל סיכוי לבגידה)

 

האלגוריתם זהה לכל גודל של קבוצה ולכל רשימת העדפות - בכל סיבוב "הרווקים" של צד אחד מציעים לשחקנים מהצד השני (מתחילים מההעדפות הכי גבוהות ויורדים למטה בהדרגה), והצד השני מסכים להצעות בהתאם להעדפות שלו (ונוטש את בן הזוג הנוכחי שלו במידת הצורך). התהליך נמשך עד שלכל שחקן יש זיווג.

(למתכנתים שבקהל - נסו לכתוב את האלגוריתם באופן מפורש בשפה המועדפת עליכם)

 

מדוע האלגוריתם עובד?

כדי להוכיח שהאלגוריתם שלנו באמת מוצא שידוך יציב (ושהוא תמיד עובד, דהיינו - שידוך יציב תמיד קיים), אנחנו צריכים להוכיח את הטענות הבאות:

1) האלגוריתם תמיד מסתיים. כלומר - הוא תמיד נותן לנו לבסוף רשימת זוגות (כך שלכל שחקן יש בן זוג אחד). חשוב לנו להוכיח את זה כי אם האלגוריתם לא מסתיים, זה אומר ששידוך יציב פשוט לא קיים.

2) האלגוריתם בונה זוגות יציבים - לא יכולה להתבצע בגידה של שני שחקנים שמעדיפים אחד את השני על פני בני הזוג הנוכחיים שלהם.

ההוכחה תהיה מאוד שטחית, אבל למי שמעוניין אשמח לספק מקורות להוכחות יותר פורמליות.

 

כדי להוכיח את החלק הראשון, נשים לב לתובנה הבאה - מהרגע שנבל קיבל הצעה מגיבור, תמיד יהיה לו זיווג כלשהו (גם אם הגיבור שמצוותים לו ישתנה לאורך הדרך - תמיד יהיה לו אחד, ואחד בדיוק). לכן, לא יכול להיות שנבל שקיבל הצעה יישאר איכשהו בלי גיבור בסוף, או שיהיו לו שניים (כי ברגע שהוא מקבל הצעה יותר טובה, הוא פשוט נוטש את הגיבור הנוכחי שלו).

אז אנחנו פשוט צריכים להוכיח שבשלב כלשהו, כל נבל חייב לקבל הצעה כלשהי מאחד הגיבורים. אבל זה ברור מאליו - כל נבל נמצא איפשהו ברשימת ההעדפות של כל גיבור, וגיבור שאין לו כרגע נבל פשוט ימשיך להציע שידוך בסדר יורד לכל נבל ברשימה שלו. אז גם אם זה ייקח אלף סיבובים, תמיד בשלב כלשהו יהיה גיבור בודד שיציע שידוך לנבל שאף אחד עוד לא הציע לו.

אם כן, בשלב כלשהו האלגוריתם חייב להסתיים - לאחר מספר סופי של סיבובים, לכל גיבור יהיה נבל ולכל נבל יהיה גיבור.

 

ההוכחה לחלק השני היא די טריוויאלית, כשחושבים על זה. אנחנו רוצים להוכיח שבשידוך הסופי, לא קיימת אפשרות לבגידה. אבל ברור שאין מצב לבגידה - אם באמת יש גיבור ונבל שמעדיפים אחד את השני על פני בני הזוג שלהם, אז באחד השלבים בזמן שהאלגוריתם רץ אותו גיבור היה מציע שידוך לאותו נבל (כי הוא במקום גבוה יותר ברשימת ההעדפות שלו מהנבל הסופי ששידכו לו), והייתה להם הזדמנות להיות ביחד (גם אם זה אומר לבגוד במישהו אחר). אבל מפני שהם לא ביחד, זה אומר שזה פשוט לא קרה - הם לא מעדיפים אחד את השני על פני בן הזוג הנוכחי שלהם. כלומר - האלגוריתם מבטיח לנו זוגות יציבים.

עוד דרך לחשוב על זה היא שמה שהאלגוריתם שלנו עושה בפועל זה למעשה נותן לכל שחקן אפשרות לבגוד בשלב כלשהו לאורך הדרך (כמו שראינו, גם הג'וקר וגם דוקטור אוקטופוס בשלב כלשהו ביצעו בחירה בין שתי אופציות לטובת הגיבור המועדף עליהם), ולכן אם אכן יש אפשרות לבגידה, אז האלגוריתם פשוט "ייפטר" ממנה מתישהו לאורך הדרך, כך שבשידוך הסופי אף אחד כבר לא יוכל לבגוד.

 

נראה לי שאפשר להגיד מש"ל - מצאנו אלגוריתם שפותר לנו בוודאות כל משחק שידוך יציב.

____________________________________________________________________________

 

והנה שאלה מעניינת למי שרוצה להפעיל קצת את המחשבה (ואשמח לשמוע את התשובה שלכם):

מי שקרא את הפוסט שלי על דילמת האסיר אולי זוכר את המונח "יעילות פארטו" - במילים פשוטות, אפשר להגיד שזה מצב שבו השחקנים מקבלים את התוצאה הכי טובה שהם יכולים להשיג מבלי לפגוע בשחקן אחר (במילים אחרות - זהו מצב שבו הדרך היחידה לשפר את התוצאה שלך היא לפגוע איכשהו בשחקן אחר). מסתבר שאם לוקחים רק את הגיבורים בחשבון (או באופן כללי, את הצד "המציע"), אז האלגוריתם שלנו מבטיח יעילות פארטו - הם מקבלים את הנבל הכי טוב שהם יכולים לקבל (בכל שידוך יציב אחר, הם יקבלו נבל שהם פחות מעדיפים). 

והנה השאלה - נסו לחשוב מדוע האלגוריתם מבטיח יעילות פארטו לגיבורים (ואך ורק להם), ומדוע ברוב המקרים הנבלים יקבלו דווקא את הגיבור הכי פחות טוב שהם יכולים לקבל (כלומר, בשידוך יציב אחר הם יקבלו גיבור שהם יותר מעדיפים).

____________________________________________________________________________

 

טוב, חבר'ה - היה נחמד, אבל עכשיו סוגרים זמנית את הבסטה. אני אקפוץ להגיד שלום מדי פעם (ואמשיך לקרוא אצל הרבה אנשים פה), אבל כבר לא כל כך יצא לי לעדכן באופן סדיר.

רוצה להגיד תודה לכל מי שקרא והגיב - הבלוג הזה התחיל בעיקר בתור פלטפורמה כדי לכתוב בה לעצמי על דברים שמעניינים אותי, אבל לאורך הדרך ממש הפתעתם אותי עם העניין המדהים שהבעתם והתובנות היפות שחלקתם פה. מקווה שהיה לכם מעניין כמו לי. זה גם הכי נדוש בארץ, אבל נשבע שלמדתי פה מהמגיבים פי שניים בערך יותר מהדברים שידעתי בעצמי; השתדלתי להבהיר לאורך כל הדרך שאני בסך הכל חובבן ושהידע שלי לא משתווה לידע מקצועי, אבל השיחות אתכם דחפו אותי להמשיך ללמוד ולהתעניין, ועכשיו אני ממש שמח להתחיל ללמוד דברים באופן פורמלי מהיסוד. יש באתר הזה אחלה אנשים, ואני שמח שיצא לי לקרוא אצלם ולדבר איתם (ומקווה שזה עוד יימשך).

למי שיוצא במקרה לבקר בטכניון - בואו להגיד שלום! (ואם מישהו רוצה לשלוח לי אימייל מתישהו - פשוט תבקשו)

נדבר, גלעד חיוך

 

נכתב על ידי קרל שוורצשילד , 14/10/2017 16:54   בקטגוריות כלכלה, מתמטיקה  
33 תגובות   הצג תגובות    הוסף תגובה   הוסף הפניה   קישור ישיר   שתף   המלץ   הצע ציטוט
 



בואו נבנה את המספרים


היום אני רוצה לעשות מין "סקירה היסטורית" של מערכת המספרים שאנחנו משתמשים בה. אני לא מדבר על שיטת הספירה או המספור (שזה נושא מעניין בפני עצמו), אלא על מבנה המספרים עצמם - אנחנו נראה כיצד התפתחו המספרים לאורך אלפי השנים האחרונות, כאשר נתחיל במספרים הטבעיים ונסיים במספרים המרוכבים (אפילו שזה בהחלט לא סוף הסיפור). במהלך הפוסט אנחנו נראה את הקשר בין המבנה של מערכת המספרים לבין ההתפתחות של פעולות החשבון, וננסה להבין את הרעיון שדחף את ההתפתחות של כל קבוצת מספרים מרכזית. הפוסט הזה לא דורש שום ידע מוקדם במתמטיקה, אבל אני מקווה שהוא יוכל לתת פרספקטיבה חדשה למי שפחות מכיר את הרקע ההיסטורי למתמטיקה ולשפוך קצת אור על חלק מהרעיונות הכי בסיסיים בה.

 

ההתחלה של הכל - המספרים הטבעיים ופעולות החשבון הבסיסיות

מתמטיקה היא דבר עתיק - יש תיעוד לשימוש בכלים מתמטיים מסוג זה או אחר עוד משחר האנושות. הרעיון הבסיסי ביותר שממנו צמחה המתמטיקה (והמספרים) הוא רעיון הכמות - אנשים השתמשו במתמטיקה כדי להגדיר כמה דברים "יש" - שמש אחת, חמישה תפוחים, שמונה סוסים, אלף אנשים וכו'. בהתאם לכך, קבוצת המספרים הראשונה שהתפתחה הייתה קבוצת המספרים הטבעיים - 1, 2, 3 וכן הלאה. בדיוק כמו ששם הקבוצה מסגיר, המספרים הטבעיים נועדו להגדיר את הרעיון הטבעי של עצמים שניתן למנות אותם.

אבל מספרים בפני עצמם זה לא קונספט כל כך שימושי - צריך לעשות איתם משהו. באופן די אוטומטי, התפתחו כמה פעולות חשבוניות בסיסיות שהיו מאוד שימושיות לחיי היום-יום. אם יש לי עשר כבשים ואני מקבל עוד שתיים, כמה כבשים יש לי? אם אני מקבל חמישה שקים שבכל אחד שלושה כרובים, כמה כרובים יש לי? שאלות מהסוג הזה היו הכוח שהניע את היווצרות פעולות החיבור והכפל, שעזרו להסתכל על מצבים יום-יומיים קצת יותר מורכבים מבעיות מנייה רגילות. ומן הסתם, אחרי שהגדירו את החיבור והכפל, גם החיסור והחילוק לא איחרו לבוא - הן פשוט הוגדרו כמעין "הפכים" של שתי הפעולות הראשונות; במקום לקבל שתי כבשים, לוקחים לך שתיים. במקום לקבל חמישה עשר כרובים בחמישה שקים, מחלקים אותם לשקים. אז מלבד המספרים הטבעיים, היו לנו ארבע פעולות שיכולנו לבצע עליהם - חיבור, חיסור, כפל וחילוק.

כמובן, עבור כל פעולת חשבון גם הוגדרו "חוקים" שמתאימים את הפעולות לאינטואיציות היום-יומיות. למשל - הוגדר שפעולת החיבור היא "אדישה" לחילוף; זה לא משנה אם היו לי שלוש אבנים ומצאתי שתיים, או אם היו לי שתי אבנים ומצאתי שלוש - בסוף התהליך יש לי את אותה כמות של אבנים (לעומת זאת, נסו להסביר מדוע פעולת החיסור אינה אדישה לחילוף). גם פעולת הכפל הוגדרה כאדישה לחילוף, והאינטואיציה לכך היא גיאומטרית - אם יש לי חלקת אדמה באורך עשרה מטרים ורוחב עשרים מטרים, השטח שלה זהה לחלקת אדמה באורך עשרים מטרים ורוחב עשרה מטרים (ונסו לחשוב מדוע פעולת החילוק אינה אדישה לחילוף). תכונה זו, ונוספות (כמו חוק הקיבוץ וחוק הפילוג), עזרו לבסס את השימוש בפעולות החשבון הבסיסיות ולשמר את המשמעות האינטואיטיבית שהייתה להן.

אני חושב שכל הצעדים האלה הם מרשימים בפני עצמם - האנושות ביצעה, בפעם הראשונה בהיסטוריה, הפשטה של בעיות. הפיתוח הזה של המספרים הטבעיים, פעולות החשבון ותכונותיהן, נבע מההבנה שמבחינה כלשהי, אין שום הבדל בין "שני תפוחים ועוד שני תפוחים" לבין "שני בתים ועוד שני בתים". זו הפשטה שהיא בכלל לא כל כך מובנת מאליה כשחושבים עליה, אבל היא הרעיון הכי בסיסי במתמטיקה. מספרים ופעולות חשבון הפכו להיות משהו מעט יותר מופשט מהעצמים שעליהם הם פעלו. כשביצעו את פעולות החשבון, כבר פחות היה צורך לדבר על "עשר פרות שמוסיפים אליהן עוד שמונה פרות", אלא פשוט על 10+8 (או כל משוואה אחרת שרצו להרכיב).

 

הבעיה במספרים הטבעיים

בניית המספרים הטבעיים ופעולות החשבון הבסיסיות הייתה בלי ספק אחת ההצלחות הגדולות בתולדות האנושות. אבל ההפשטה הזאת גם הביאה איתה כמה "צרות" לא צפויות; מסתבר שהשיטה שלנו לייצוג בעיות מאפשרת להגיע לכמה תוצאות די אבסורדיות. בואו נסתכל למשל על השאלה הבאה - איזה מספר קיים כך שאם נוסיף לו 4 נקבל 2? המשוואה הפשוטה עצמה x+4=2 היא לגמרי תקפה מבחינת האופן שבו מערכת המספרים שלנו בנויה, אבל ברור לחלוטין שלא קיים במסגרת מערכת המספרים שלנו מספר שמקיים את הדרישות. במילים אחרות - יש לנו משוואה חסרת כל פשר. בואו ניקח עוד דוגמה, מעולם הגיאומטריה - מה צריך להיות אורך של קטע מסוים, כך שאם אקח ארבעה כמוהו אקבל קטע באורך 2? במילים אחרות, צריך למצוא x שמקיים את המשוואה - 4x=2. גם המשוואה הזו תקינה לגמרי "טכנית", אבל גם הפעם אין במערכת המספרים שלנו פתרון למשוואה. שתי הדוגמאות האלה נראות לנו די מגוחכות כיום (כי אנחנו יודעים שיש להן פתרונות, הם פשוט לא מספרים טבעיים), אבל לפני כמה אלפי שנים אלה היו שאלות די גדולות. הרי האדם בנה לעצמו מערכת מספרים מצוינת למנייה של אובייקטים, אז למה זה לא מספיק?

אם נהיה דקדקנים, אנחנו נראה שיש למעשה שני גורמים בעייתיים מאחורי כל הבעיות הללו - פעולת החיסור ופעולת החילוק. החיבור והכפל הם אחלה חבר'ה - כל תרגיל שאנחנו מבצעים באמצעותם על המספרים הטבעיים תמיד "הגיוני" - סכום של שני מספרים טבעיים הוא תמיד מספרים טבעי, ומכפלה של שני מספרים טבעיים היא תמיד מספר טבעי. הבעיה בדוגמאות שהצגנו למעלה, זה שהן בשלב כלשהו דורשות מאיתנו לבצע את פעולת החיסור או החילוק (במקרה של x+4=2 נצטרך לחסר את 4 מ-2 ובמקרה של 4x=2 נצטרך לחלק את 2 ב-4), ורק אז העניינים מתחילים להסתבך. רק כשאנחנו מפעילים את פעולת החיסור והחילוק אנחנו נתקלים פתאום בתוצאות שאין להן משמעות במסגרת המספרים הטבעיים. במילים אחרות, אנחנו רואים שמערכת המספרים הטבעיים שלנו היא לא ממש "שלמה" - אמנם היא סגורה ביחס לשתיים מפעולות החשבון (חיבור וכפל), אבל בנוגע לשתיים הנותרות היא לא סגורה - אפשר לבצע את הפעולות כך שלא תהיה תוצאה בתוך המספרים הטבעיים.

אבל מערכת המספרים הטבעיים שלנו הוכיחה את עצמה כמדויקת ושימושית - אנחנו באמת צריכים לזרוק אותה לפח רק בגלל הבעיה הזאת? ממש לא - אנחנו רק צריכים להרחיב אותה קצת. אנחנו צריכים למצוא דרך להרחיב את מערכת המספרים הטבעיים באופן שנוכל לייצג בה את הבעיות שלנו שאין להן פתרון.

 

שברים, מספרים שליליים ובניית המספרים הרציונליים

היסטורית, הבעיה הראשונה שנפתרה הייתה בעיית החילוק, על ידי המצאת מערכת השברים. מיותר לציין שבעיות שכללו שברים היו מאוד נפוצות עוד מתחילת האנושות, ולכן היה חשוב להמציא מערכת מספרים שתוכל לטפל בהן. ברור לנו שאם לוקחים עוגה ומחלקים אותה לחמישה חלקים (במילים אחרות - 1:5) חייב להיות לבעיה פתרון מספרי, אבל מפני שהוא לא קיים במסגרת המספרים הטבעיים, הוחלט להרחיב את המספרים הטבעיים ליצירת מערכת שתכלול שברים; במקום לבטא כל מספר באמצעות מספר טבעי בודד, ניתן לבטא כל מספר באמצעות שני מספרים טבעיים כדי לתת פתרון לבעיות חילוק שאין להן פתרון במסגרת הטבעיים. באופן זה, אנחנו מבטיחים שמערכת המספרים שלנו סגורה ביחס לחילוק - לכל בעיה שכוללת חילוק יש תשובה. כמובן, גם הגיעו למסקנה שלכל מספר יכול להיות יותר מייצוג אחד כשבר - 1/4 אינו שונה מ-2/8. זה אמנם קצת שונה ממה שהכרנו עד כה במספרים הטבעיים, אבל זה מחיר שאין לנו בעיה לשלם בשביל שנוכל לפתור בעיות שכוללות חילוק.

הגדרת השברים הייתה תהליך די מהיר וטבעי, מפני שהאינטואיציה מאחוריו ברורה - אנחנו מבינים טוב מאוד מה זה אומר "לחלק חמש כיכרות לחם בין עשרה אנשים". אבל הפתרון לבעיית הסגירות של החיסור היה לא כל כך אינטואיטיבי, ולקח לאנושות הרבה זמן באמת לקבל אותו כפתרון לגיטימי. אנחנו מחפשים דרך לפתור תרגילים כמו 1-9, אבל במסגרת האינטואיציה שלנו על המספרים הטבעיים קשה לנו להבין מה בכלל אומר - מה זה אומר בכלל "להחסיר עשר תרנגולות משלוש תרנגולות"? פה גם הרעיון של המספר 0 נכנס לתמונה (גם הוא לא היה קיים בהגדרה המקורית של המספרים הטבעיים) - אי אפשר לספור אפס בתים, זה אומר ש-0 הוא לא מספר בעל משמעות? הוא לא יכול לייצג פתרון לבעיה?

עם זאת, בסופו שלו דבר הוחלט להרחיב את מערכת המספרים שלנו אל המספרים השליליים. יש כאלה שטענו שהמספרים מייצגים "חוב" - אם יש לי מספר שלילי של מטבעות, אני חייב למישהו כסף. יש כאלה שטענו שהם מייצגים את "הכיוון ההפוך" - אם אני הולך לאורך ציר המספרים לכיוון שמאל, אפשר להגיד שהמהירות שלי "הפוכה" למהירות שלי אם אני הולך לצד ימין, מה שאומר שניתן לייצג אותה כמספר שלילי. וכמובן - יש כאלה שטענו שלמספרים השליליים אין משמעות כלל (ושהם פשוט נועדו להעניק פתרון אד הוק למשוואות מסוימות), או שלחלוטין התכחשו לקיומם. כך או כך, האנושות התחילה בהדרגה לשלב את המספרים השליליים במערכת המספרים (אפילו שהתהליך היה ארוך).

 

והנה - פתרנו את בעיית הסגירות שלנו. כשאנחנו מוסיפים למערכת המספרים הטבעיים המקורית שלנו את הקונספט של שברים ומספרים שליליים, אנחנו מבטיחים שלכל בעיה שמבוססת על ארבע פעולות החשבון הבסיסיות יהיה פתרון - סגירות מוחלטת ביחס לחיבור, חיסור, כפל וחילוק. מערכת המספרים החדשה הזאת נקראת "המספרים הרציונליים", וההגדרה הפשוטה שלה היא "כל מספר שניתן לבטא כמנה של שני מספרים שלמים - חיוביים או שליליים".

זה הישג נהדר, וכפי שמיד נראה, זאת הפעם הראשונה שבה חשבנו (באופן די תמים) ש-"זהו, זה מספיק". על פניו, נראה שאנחנו יכולים לפתור כל בעיה מתמטית שננסה לבטא, ושמערכת המספרים שלנו סוף סוף שלמה. הסיבה העיקרית לאופטימיות הייתה גילוי של תכונה חשובה של קבוצת המספרים הרציונליים - מסתבר שזו קבוצה "צפופה" - בין כל שני מספרים רציונליים, לא משנה כמה קרובים, תמיד יש עוד אינסוף מספרים רציונליים נוספים. זה נראה מאוד מבטיח - מילאנו את ציר המספרים שלנו עד אפס מקום!

 

בעיות ממשיות

תחושת ההישג הזאת לא שרדה יותר מדי זמן. אמנם מערכת המספרים הרציונליים היא סגורה ביחס לחיבור, חיסור, כפל וחילוק, אבל אלה ממש לא הפעולות החשבוניות היחידות שמשמשות אותנו. ביוון העתיקה, המתמטיקה שימשה בעיקר לגיאומטריה, וכך גם התגלה הסדק הראשון במספרים הרציונליים. הכל התחיל בשאלה גיאומטרית מאוד בסיסית - יש לנו ריבוע עם אורך צלע של יחידה אחת. מהו אורך האלכסון שלו? באמצעות משפט פיתגורס, ניתן בקלות לחשב שאורכו הוא . אבל מהו הערך המספרי של ? כיצד נבטא אותו כמספר רציונלי?

יש לי כבר שני פוסטים (1, 2) שעוסקים בשורשים לא רציונליים, אז אני לא אחזור על ההוכחה, אבל המסקנה המזעזעת הייתה זו - לבעיה הגיאומטרית הבסיסית הזאת אין פתרון במערכת המספרים הרציונליים. כן, כן - אחרי שטרחנו כל כך הרבה בשביל ליצור את מערכת המספרים המושלמת (ולמרות הצפיפות המוחצת של המספרים הרציונליים), עדיין יש בעיות מתמטיות שאנחנו לא יכולים לפתור אותן באמצעות מספרים רציונליים - קיימים מספרים שהם אי-רציונליים. חשבנו שציר המספרים שלנו מלא לגמרי, אבל מסתבר שיש בו חורים שאנחנו לא מצליחים למלא (למעשה, לאחר 2000 שנה התגלה שהמספרים הרציונליים הם בכלל מיעוט בציר המספרים, ושהמספרים האי-רציונליים הם הרוב המוחץ - ההוכחה החלקית בפוסט הזה).

עם הזמן, גילו שלמספרים האי-רציונליים יש כל מיני תכונות מוזרות שמעולם לא נתקלו בהן לפני כן במספרים. למשל - כשמציגים אותם כשבר עשרוני, יש להם אחרי הנקודה העשרונית רצף מספרים שלעולם לא נגמר ושלעולם לא חוזר על עצמו - מעין מספרים שצריך כמות אינסופית של מידע כדי לתאר אותם "במדויק". למעשה, אין להם באמת שום תיאור מדויק - באמצעות ייצוג רציונלי אפשר להתקרב לערך שלהם בכל רמת דיוק שנרצה, אבל אף פעם אי אפשר באמת "להגיע אליהם".

 

מן הסתם, לא יתכן שמערכת המספרים שלנו לא תכלול את את המספרים החשובים האלה, שמופיעים בתור פתרונות למשוואות הבסיסיות ביותר בגיאומטריה. אז הוחלט, פעם נוספת, להרחיב את עולם המספרים הקיים שלנו, כך שיכלול גם את המספרים האי-רציונליים. המספרים הרציונליים והאי-רציונליים יוצרים ביחד את ציר המספרים הממשי. ההגדרה של הציר הממשי היא מאוד לא פשוטה - אי אפשר פשוט להגיד "הציר הממשי כולל את כל מה שרציונלי ואת כל מה שלא רציונלי" - זה ביטוי חסר פשר. בלי להיכנס לפרטים, ההגדרה שלו מתבססת על התכונה המעניינת של המספרים הממשיים שראינו קודם - ניתן להתקרב אליהם בכל רמת דיוק שנבחר. אז כדי להרגיש שבכל זאת יש לנו הגדרה כלשהי למספרים הממשיים, ניתן להם את ההגדרה הלא מדויקת הבאה - ציר המספרים הממשי כולל את כל המספרים שניתן להתקרב אליהם בכל רמת דיוק שנרצה באמצעות מספרים רציונליים.

לדוגמה, הפיתוח העשרוני של  נראה בערך ככה - 1.41421... (כאמור, יש אינסוף מספרים אחרי הנקודה העשרונית). אמנם המספרים הרציונליים לא מאפשרים לנו לבטא את הערך שלו באופן מדויק, אבל הם כן מאפשרים לנו להתקרב לערך שלו בכל רמת דיוק שנרצה. למשל, נוכל לתאר אותו באמצעות סדרת המספרים הרציונליים - 1.4, 1.414, 1.4142... וכן הלאה. אמנם הסדרה הרציונלית הזאת לא מבטאת באופן רציונלי את הערך של , אבל היא נותנת לנו קירוב טוב "באופן אינסופי".

אגב, שימו לב שהמילה אינסוף מתחילה להופיע פה בקצב מסחרר, וזה לא סתם. המספר הממשיים הם הקבוצה הראשונה של מספרים שהיה צריך להגדיר אותם מהיסוד תוך שימוש בקונספט של אינסוף - ההרחבה העשרונית האינסופית, הייצוג בתור גבול של סדרות אינסופיות וכו'. לדעתי, זה הופך אותם למערכת המספרים הכי "מעניינת" והכי מורכבת שאנחנו משתמשים בה.

 

הערת שוליים קטנה על הממשיים

כמו שבטח כבר הבנתם, בכל פעם שאנחנו מרחיבים את מערכת המספרים שלנו, אנחנו עושים את זה בגלל רעיון מניע מרכזי - אנחנו רוצים ש-"לכל שאלה תהיה תשובה" - לכל משוואה שנבטא יהיה פתרון מוגדר במערכת המספרים שלנו. אבל אנחנו כל כך רוצים שלכל שאלה תהיה תשובה, שאנחנו שוכחים לבדוק האם הדבר מתקיים בכיוון ההפוך - האם לכל תשובה יש שאלה? האם כל מספר במערכת המספרים שלנו הוא פתרון של משוואה מוגדרת בפעולות החשבון הרגילות שלנו? זה נראה די מתבקש שלא יהיו "נוסעים זרים" במערכת המספרים שלנו - לא יכול להיות שהמערכת כוללת מספרים שאין לנו "גישה" אליהם. כלומר - מן הסתם כל מספר במערכת המספרים שלנו הוא פתרון למשוואה כלשהי, נכון?

אז לא נכון. עד הגדרת המספרים הממשיים, זו אכן הייתה האמת - כל מספר טבעי, שלם ורציונלי הוא פתרון של משוואה פשוטה כלשהי. אבל כשהגדרנו את המספרים הממשיים, אנחנו בטעות יצרנו משפחה שלמה של מספרים שלא הייתה קיימת עד עכשיו - המספרים הטרנסצנדנטיים. אלה הם מספרים שהם לא רק אי-רציונליים, אלא לחלוטין לא ניתנים להגדרה באמצעות משוואה פשוטה. , למשל, הוא אמנם מספר אי-רציונלי, אבל אפשר להציג אותו בקלות בתור פתרון של משוואה - פשוט פותרים את המשוואה הפולינומית . לעומת זאת, מסתבר שהמספרים הטרנסצנדנטיים (שכוללים בין היתר את  המפורסם) הם מספרים שקיימים על הציר הממשי, אבל שאין לנו אפשרות לייצג אותם בתור פתרון של שום משוואה פולינומית. אפשר להגיד שהם אכן "תשובות בלי שאלות". אגב, בהמשך הוכח שגם הם נפוצים על ציר המספרים הממשי הרבה יותר מהמספרים הרציונליים וגם מהמספרים האי-רציונליים "הפשוטים" - מסתבר שמרבית המספרים הממשיים הם למעשה נוסעים זרים.

 

האם סיימנו?

אחרי מסע ארוך ומייגע, הגענו סוף סוף לציר המספרים הממשי. זה כנראה הציר שהכי מוכר לנו ממתמטיקה של בית הספר - זה ציר המספרים שעליו קיימות הפונקציות שאנחנו לומדים עליהן ומופיעות כל המשוואות שאנחנו פותרים בכיתה. ואחרי אלפי שנים של מאמץ, הייתם מצפים שסיימנו, נכון? דאגנו לסגירות בחיבור, בחיסור, בכפל, בחילוק ואפילו דאגנו לפתרונות ממשיים למשוואות הגיאומטריות ההן! הרחבנו את מערכת המספרים שלנו כבר שלוש פעמים - עכשיו כבר אפשר לנוח, נכון? רק עוד רגע.

תזכרו - כל הצעדים שביצענו נועדו להבטיח שכל משוואה שננסה לפתור - יהיה לה פתרון. אנחנו רוצים מערכת מספרים שלמה - אסור שתהיה במערכת שלנו משוואה שהפתרון שלה לא יופיע בתוך המערכת. אבל אנחנו שוכחים שלמעשה יש משפחה שלמה של משוואות שעוד לא טיפלנו בהן, לגמרי בלי לשים לב.

בואו ניזכר שנייה בחוק הבסיסי שלימדו אותנו ביסודי - "אם מעלים מספר בריבוע, התוצאה תמיד חיובית", או בניסוח אחר - "למספרים שליליים אין שורש". זה חוק מאוד הגיוני, נכון? הרי אם נעלה מספר חיובי בריבוע, נקבל מספר חיובי (פלוס כפול פלוס = פלוס), ואם נעלה מספר שלילי בריבוע, גם נקבל מספר חיובי (מינוס כפול מינוס = פלוס). אז ברור לחלוטין שלא קיים מספר שאם נעלה אותו בריבוע יהיה שלילי.

עכשיו אני רוצה שתקראו שוב את המשפט האחרון בפסקה הקודמת (ובלי הדעות הקדומות משיעורי מתמטיקה). נכון שזה נשמע לכם מוכר? "ברור שלא קיים מספר שמקיים את המשוואה..." זה המשפט שחזר על עצמו לאורך כל ההיסטוריה - אמרו את זה על הטבעיים, על השלמים, על הרציונליים... ובכל פעם מחדש הבינו שאין כזה דבר. אי אפשר להרשות שיהיו משוואות בלי פתרון סתם כי "ברור שאין כזה דבר במערכת מספרים שלנו" - אנחנו חייבים להרחיב עוד פעם את מערכת המספרים שלנו! אנחנו צריכים למצוא מערכת של מספרים שתאפשר לנו לענות על משוואות פולינומיות מהמשפחה של . במילים אחרות - אנחנו צריכים שורשים של מספרים שליליים.

 

אחרונים חביבים - המספרים המרוכבים

כמו שהגדרנו עד עכשיו סוגים חדשים של מספרים (שליליים, שברים, אי-רציונליים וכו') אנחנו נגדיר עכשיו סוג נוסף - מספר מדומה. אל תתנו לשם להטעות אתכם - המספרים המדומים הם לא פרי דמיון יותר מכל מספר אחר, והשם שלהם נובע בעיקר מעוול היסטורי. הם "אמיתיים" בדיוק כמו כל מספר אחר שהגדרנו עד עכשיו, וזוהי הגדרתם:

נגדיר את המספר המדומה הכי בסיסי, שיכונה מעתה , באופן הבא -  (או באופן יותר פשטני - ).

במבט ראשון זה נראה קצת כמו חילול הקודש - אנחנו באמת יכולים לשבור את הכלל הבסיסי הזה שלמדנו במשך שנים? באמת אפשר פשוט "להמציא" מספר ככה? התשובה היא - כן וכן. אל תשכחו שכל מספר שהגדרנו עד עכשיו הוא בסך הכל "המצאה" - אנחנו החלטנו ש- הוא הפתרון של המשוואה 2x=1, אנחנו החלטנו ש- הוא הפתרון של המשוואה , ועכשיו אנחנו מחליטים ש- הוא פתרון של המשוואה . אמנם התהליך הזו הוא "מלאכותי", אבל כל שאר התהליכים האלה היו מלאכותיים באותה מידה. זה לא "סתם משהו שמישהו החליט" - זה רעיון שיש מאחוריו הרבה מחשבה - תהליך של אלפי שנים שהמטרה הסופית שלו היא ליצור מערכת מספרים "שלמה", שנוכל לפתור בה כל משוואה.

 

עכשיו כשהגדרנו את המספרים המדומים, אנחנו יכולים סוף סוף לבנות המספרים המרוכבים, שהם החלק האחרון בפאזל שלנו. המספרים המרוכבים לוקחים את ציר המספרים הממשי ומרחיבים אותו. למעשה, זו לשון המעטה; הם לא מרחיבים אותו - הם מוסיפים לו מימד נוסף. ככה זה בנוי:

- אנחנו לוקחים את הציר הממשי, ובמאונך אליו אנחנו מניחים ציר נוסף, שייקרא "הציר המדומה". הציר המדומה הוא זהה לחלוטין לציר הממשי, רק שכל המספרים בו הם מדומים - במקום 1, 2, 3... מופיעים עליו  וכן הלאה.

- במערכת המספרים המרוכבים, כל מספר מיוצג בתור נקודה כלשהי על מערכת הצירים הזאת (שנקראת "המישור המרוכב", או "מישור גאוס"). כפי שבמערכת הצירים הקרטזית לכל נקודה יש ערך X וערך Y, במישור המרוכב לכל מספר יש חלק "ממשי" וחלק "מדומה", וניתן לייצג אותו בתור הסכום של שניהם. כך, למשל, נשתמש במישור המרוכב לייצוג המספר :

 

 

באותו אופן, כל נקודה במישור הזה מייצגת מספר מרוכב כלשהו באמצעות קואורדינטה דו-מימדית (בדיוק כפי שכל נקודה על ציר המספרים מייצגת מספר ממשי באופן חד-מימדי). אפשר גם לבטא את המספר המרוכב בדרכים אחרות, למשל - המרחק שלו מראשית הצירים והזווית שהוא יוצר עם הציר הממשי (את  לדוגמה אפשר לייצג בצורה ).

 

למה בכלל צריך את המספרים המרוכבים?

אוקיי, אז יצרנו מערכת חדשה של מספרים. איך היא עוזרת לנו?

אל תשכחו בשביל מה יצרנו אותה - אנחנו רוצים שתהיה לנו מערכת מספרים שיש בה פתרון לכל משוואה פולינומית, וזה בדיוק מה שהמרוכבים עושים. יצא לכם פעם לפתור בכיתה משוואה ריבועית שיצא בה שורש שלילי, והמורה פשוט אמרה "שאין לה פתרון"? אז עכשיו יש לה פתרון - מספר מרוכב כלשהו.

למעשה, מסתבר שהמספרים המרוכבים לא רק מצילים את המשוואה הריבועית - הם משלימים את הפאזל באופן סופי. מה שאנחנו חיפשנו עד עכשיו היה מערכת מספרים שהיא לחלוטין "סגורה אלגברית" - שלכל משוואה פולינומית יהיה לנו פתרון בתוך המערכת, ככה שלא נצטרך להמשיך ולהרחיב את מערכת המספרים שלנו. אז החדשות הטובות הן שלאחר אלפי שנים של מאמץ, הוכח משפט שנקרא "המשפט היסודי של האלגברה", שטוען בדיוק את זה - מערכת המספרים המרוכבים היא סגורה אלגברית. למעשה, קחו כל משוואה - ליניארית, ריבועית, פולינומית, טריגונומטרית, אקספוננציאלית... כל דבר! המספרים המרוכבים הם בדיוק כל מה שאתם צריכים כדי לפתור אותה - לא פחות ולא יותר.

 

יש שיבואו ויגידו שלמרות התכונה הנהדרת הזאת של המספרים המרוכבים - "אין להם משמעות". עד עכשיו, כל הרחבה שעשינו למערכת המספרים שלנו נבעה מצורך לפתור בעיה מציאותית כלשהי - מנייה של קבוצות, חלוקה של עצמים, בעיות גיאומטריות וכו'. לעומת זאת, למספרים המרוכבים אין שום "מטרה" חוץ מלפתור משוואה פולינומיות - הם לא מייצגים שום אספקט של המציאות. לאנשים האלה אני יכול להגיד שני דברים:

1) אמנם אין איזו אינטואיציה נחמדה מחיי היום-יום שמסבירה למה מספרים מרוכבים הם חלק מהמציאות, אבל הם בלי ספק חלק מרכזי ממנה, ויש להם המון שימושים פרקטיים. דוגמה מתחום שקרוב ללבי היא מתורת הקוונטים, שבה משתמשים באופרטורים שכמבוססים על מספרים מרוכבים לייצוג של גדלים פיזיקליים כמו אנרגיה. למרוכבים יש שימושים גם בניתוח של מערכות הרמוניות (כמו גלים), הנדסת חשמל ועוד המון תחומים אחרים. אם המספרים המרוכבים לוקחים חלק כל כך משמעותי בהיבטים בסיסיים של המציאות, מן הסתם ה-"קיום" שלהם מוצדק בדיוק כמו של המספרים הממשיים.

2) מבחינה מתמטית טהורה, זה בכלל לא משנה אם למרוכבים יש "משמעות" כלשהי. בתור מערכת, המרוכבים הופכים את המתמטיקה ליותר שלמה, ומאפשרים לנו לפתור בעיות שבלעדיהם לא היינו יכולים (אגב, גם בעיות שכוללות אך ורק מספרים ממשיים). במתמטיקה לא מודדים ערך של משהו לפי כמה הוא מציאותי, אלא לפי מידת השימושיות שלו בעולם המתמטי ומידה היופי שהוא מוסיף למערכת (ואם הוא שימושי גם במציאות אז זה בונוס, וכבר ביססנו שיש להם לא מעט שימושים).

 

סיכום

זה היה תיאור מזורז של תהליך שנמשך כמה אלפי שנים טובות. האם זה סוף הסיפור? לא ממש - מתמטיקאים בונים כל הזמן מערכות מספרים חדשות ושונות שמשמשות לצרכים שונים. אבל כן אפשר להגיד שמבחינת המאמץ שלנו ליצור מערכת מספרית שלמה וסגורה אלגברית, המספרים המרוכבים הם באמת כל מה שאנחנו צריכים.

 

אני רוצה שנייה לחזור ולדבר על התהליך עצמו - לא שיטת מספרים זו או אחרת שבחרנו להשתמש בה, אלא על הכוח המניע של כל צעד שהתבצע לאורך הדרך. כשמפרקים את כל הסיפור לגורמים, אנחנו רואים ש-"הגביע הקדוש" של כל הסיפור הזה היה מציאת מערכת המספרים "המושלמת". אבל מה בדיוק הפך את התוצאה הסופית למושלמת? ואיך ידענו מה אנחנו מחפשים? בואו נחשוב דקה על כמה מהדרישות האינטואיטיביות שהיו לנו כלפי מערכת המספרים שלנו:

1) הגדרנו עליה שתי פעולות בסיסיות, חיבור וכפל, שקבענו שצריכות לקיים את חוק החילוף, הקיבוץ והפילוג.

2) לחיבור ולכפל הגדרנו פעולות "הפוכות" (חיסור וחילוק), שקבענו שיכולות "לבטל" את שתי הפעולות הבסיסיות.

3) דרשנו סגירות מכל אחת מפעולות החשבון שלנו - אם נבצע את הפעולות על איבר כלשהו במערכת המספרים, תמיד נקבל איבר שגם הוא שייך למערכת המספרים.

4) דרשנו סגירות אלגברית - לכל משוואה פולינומית שמבוססת על מערכת המספרים יש פתרון במערכת המספרים.

 

בכל שלב במהלך הדרך התחלנו עם מערכת מספרים מסוימת, ואז גילינו שהיא לא מקיימת חלק מהתנאים שהצבנו למעלה למערכת "מושלמת", וכתוצאה מכך הרחבנו את מערכת המספרים. במתמטיקה, למערכת שמקיימת את ארבע הדרישות האלה (בניסוח טיפה שונה) קוראים "שדה סגור אלגברית", ומסתבר שיש למבנים כאלה תכונות שהן נורא שימושיות לייצוג אלמנטים של המציאות שלנו.

קשה לי להסביר כמה כל הסיפור הזה מעניין בעיניי - זה לא שבשלב כלשהו בדרך מישהו ישב והחליט - "אנחנו צריכים לבנות שדה סגור אלגברית"; עד הכמה מאות שנים האחרונות, אף אחד אפילו לא טרח להגדיר בכלל מה זה "שדה". איכשהו, האדם פשוט ידע לכל אורך הדרך להגדיר באופן אינטואיטיבי אילו תכונות צריכות להיות למערכת המספרים שהוא משתמש בה כדי לייצג את המציאות באופן עקבי ושלם - אף אחד לא "ידע" שסגירות זה דבר חשוב, או שחוק הקיבוץ באמת מתקיים - אלה פשוט דברים שנוצרו באופן טבעי כתוצאה מאבולוציה מתמטית שלקחה אלפי שנים.

 

יש אנשים שאומרים שמתמטיקה היא חלק מהטבע ושהאדם מגלה אותה. יש אנשים שטוענים שמתמטיקה לא באמת קיימת, אלא היא פשוט מערכת לוגית שהאדם המציא אותה כדי לתאר את המציאות. אני לא יודע איזו משתי התשובות היא הנכונה, אבל כך או כך, שתי האפשרויות נורא מרשימות בעיניי.

__________________________________________________________________________________

 

מעניין אותי לשמוע מה אתם חושבים על הנושא. האם זה עוזר טיפה להבין את ההיגיון מאחורי התהליך של בניית המספרים? האם מערכת המספרים שלנו היא "טבעית", או שהיא פשוט יצירה של בני האדם? תרגישו חופשי לחלוק את דעתכם ולפתח את הנושא (התפלספות זה די תחביב שלי).

חג שמח! חיוך

נכתב על ידי קרל שוורצשילד , 7/10/2017 17:01   בקטגוריות מתמטיקה  
13 תגובות   הצג תגובות    הוסף תגובה   הוסף הפניה   קישור ישיר   שתף   המלץ   הצע ציטוט
 





Avatarכינוי:  קרל שוורצשילד

בן: 22




הבלוג משוייך לקטגוריות: מדע וטכנולוגיה
© הזכויות לתכנים בעמוד זה שייכות לקרל שוורצשילד אלא אם צויין אחרת
האחריות לתכנים בעמוד זה חלה על קרל שוורצשילד ועליו/ה בלבד
כל הזכויות שמורות 2017 © נענע 10 בע"מ