לדף הכניסה של ישרא-בלוג
לדף הראשי של nana10
לחצו לחיפוש
חפש שם בלוג/בלוגר
חפש בכל הבלוגים
חפש בבלוג זה




מלאו כאן את כתובת האימייל
שלכם ותקבלו עדכון בכל פעם שיעודכן הבלוג שלי:

הצטרף כמנוי
בטל מנוי
שלח

RSS: לקטעים  לתגובות 
ארכיון:


3/2017

לבחור את המזכירה הטובה ביותר!


היום אני רוצה לכתוב על בעיה מתמטית מפורסמת בהסתברות (למי שלא שם לב עדיין, אני מאוד אוהב בעיות בהסתברות). אני אציג את הבעיה עצמה, אסביר באופן מופשט את האסטרטגיה הטובה ביותר לפתרון, ולאחר מכן אראה את החישובים עצמם. למי שפחות מעוניין במתמטיקה הגולמית, ניתן פשוט לדלג על החלק הזה ועדיין ליהנות מהפוסט עצמו. אבל אני מאוד ממליץ לקרוא את החישובים עצמם, מפני שהם מאוד אלגנטיים ולא דורשים מתמטיקה יותר גבוהה מהרמה שלומדים בתיכון.

מקווה שתהנו.

 

הבעיה

הבעיה נקראת "בעיית המזכירה", והיא מבוססת על התרחיש הבא:

אתה מעוניין להעסיק מזכירה. לאחר שפרסמת מודעת דרושים בעיתון, קיבלת פניות מכמות מסוימת של מועמדות, אשר אותן זימנת לראיונות עבודה. הראיונות נערכים אצלך במשרד אחד אחרי השני, על פי החוקיות הבאה:

1. הראיונות נערכים בסדר אקראי.

2. בתום כל ריאיון, עליך להעסיק את המזכירה שראיינת או לעבור להבאה בתור. לאחר שעברת לראיין את המזכירה הבאה, אין לך יכולת להעסיק שוב מזכירה מאחד הראיונות הקודמים. אם אתה שולח אותה הביתה, היא לא תעבוד אצלך. אם העסקת מזכירה, אין לך אפשרות להתחרט.

3. אתה מעוניין אך ורק במזכירה הטובה ביותר - לא בשנייה הכי טובה, לא בשלישית... כל זה חסר ערך בעיניך. אתה מוכן לעשות הכל כדי להגדיל את הסיכוי שתקבל את המזכירה הזו.

 

מפני שאתה לא מכיר את המזכירות שמתראיינות אצלך מראש, אין לך דרך אמיתית לדעת אם בחרת את הטובה ביותר. אתה יכול רק לקבוע עד כמה היא טובה בהשוואה למזכירות קודמות שראיינת. וכאן טמונה הבעיה - כיצד תוכל להעסיק בהסתברות הגבוהה ביותר את המזכירה הכי טובה?

 

שלב ראשון בדרך לפתרון

כדי לפתור את השאלה, כרגע בלי מספרים בכלל, אנחנו קודם כל צריכים לפשט אותה ולהבין מה אנחנו רוצים בדיוק. אנחנו מעוניינים במזכירה הכי טובה. זה אומר שכשנגיע אליה אנחנו נעצור את הראיונות. זה גם אומר שבמהלך הראיונות, כל מזכירה שנראיין שהיא לא הטובה ביותר שהתראיינה עד כה, לא תתקבל לעבודה (מפני שאם היא לא הטובה ביותר אז בוודאות אנחנו לא מעוניינים להעסיק אותה, גם אם פוטנציאלית המזכירות שבהמשך עלולות להיות יותר גרועות).

אבל אם תמיד נעסיק את "הטובה ביותר עד כה", אנחנו עלולים לעשות טעות מרה - אם מתוך 100 מזכירות נעסיק את החמישית רק מפני שהיא טובה יותר מכל מי שראיינו לפניה, אנחנו מפספסים כמות נכבדת של מועמדות, ופוטנציאלית מחמיצים את הטובה ביותר האמיתית. זה אומר שאנחנו חייבים מדגם מייצג כלשהו של מזכירות שנוכל לאמוד על פיהן את האחרות.

מה זה אומר בעצם? שהתהליך מחייב את זה שמתוך N מזכירות שזומנו לראיון עבודה, את ה-K מזכירות הראשונות אנחנו נראיין רק כדי לקבל מדגם הולם של מזכירות להשוואה (אבל נפסול אותן באופן אוטומטי), ורק החל מאחרי המזכירה ה-K נתחיל פוטנציאלית להעסיק. רק לאחר אותו מספר K, אנחנו נעסיק את המזכירה הטובה ביותר שהתראיינה עד כה (בהתאם לאסטרטגיה שקבענו לפני מספר שורות).

זה נשמע קצת הזוי - איך זה הגיוני לדחות את כל המראוינות הראשונות (עד K) בלי קשר לכמה טובות הן? מה אם המזכירה הטובה תהיה מבין ה-K הראשונות? במקרה זה, אנחנו פשוט נראיין עוד ועוד מזכירות עד שניתקע עם האחרונה בתור, בלי קשר לכישוריה. בנוסף, שימו לב שגם אם המזכירה הטובה ביותר נמצאת אחרי המרואיינת מספר K, זה עדיין לא מבטיח שניקח אותה לעבודה (כי אולי תגיע לפניה מישהי שבמקרה תהיה הטובה ביותר עד כה, ואז ניקח אותה). זה מנגנון בעייתי לצערנו, אבל זה המחיר שנצטרך לשלם במאמץ שלנו למצוא את המזכירה המושלמת.

אבל טרם ניגשנו לשאלה האמיתית - מהו אותו K? מתוך N מזכירות שבאו להתראיין, כמה נצטרך לעבור לפני שנתחיל להעסיק? ובמקרה זה, מה תהיה ההסתברות שבאמת נמצא את המזכירה הטובה ביותר? פה מתחילה המתמטיקה עצמה.

 

הפתרון המתמטי

ניתן להבין בקלות שיש הרבה אירועים שונים שיכולים להביא לכך שנבחר במזכירה הטובה ביותר, וההסתברות לכל אחד מהם תלויה בפרמטרים כמו כמות המזכירות, המיקום של המזכירה בתור, הערך שנבחר בתור K וכו'. לכן, כדי למצוא את ההסתברות הכוללת לכך שנבחר במזכירה הנכונה, עלינו לסכום את כל ההסתברויות הנפרדות שיובילו לכך שנבחר בה. אבל מהו אותו סכום?

כדי לבחור את המזכירה הטובה, המאורע הראשון שצריך להתקיים זה שהיא תהיה במיקום כלשהו בתור. נקרא למיקום זה L (כאמור, L יכול להיות הרבה מספרים שונים - בין 1 ל-N). נקרא למאורע זה U. שנית, צריך להתקיים המאורע שבו אכן נבחר באותה מזכירה (נקרא לו V), בהינתן שהיא נמצאת באותו מיקום L. אז מה שמעניין אותנו בעצם זה למצוא את:

 

למי שלא קרא/זוכר את הפוסטים הקודמים שעסקו בהסתברות, אני אסביר שנייה בדיוק מה הסימון אומר:

- האות הגדולה בהתחלה שמעליה כתוב N ומתחתיה כתוב L=1  היא האות היוונית סיגמא, שמסמלת סכום. זה בעצם אומר שאנחנו סוכמים את כל ההסתברויות שמופיעות אחריה לכל ערך של L - מ-1 (המזכירה נמצאת ראשונה בתור) ועד N (הזמכירה אחרונה בתור).

- ההסתברות שמופיעה לאחר הסיגמא היא מכפלה של ההסתברות למאורע U (בו המזכירה נמצאת במיקום L) ושל ההסתברות מאורע V בהינתן שמאורע U מתקיים (כלומר, שאנחנו באמת בוחרים במזכירה הטובה, בהינתן שהיא במיקום L).

מעולה, עכשיו רק נשאר לנו לחשב את הסכום!

נתחיל עם שאלה קלה - מה ההסתברות שהיא במיקום L? התשובה פשוטה מאוד - מקום אחד מתוך N מקומות אפשריים, אז התשובה היא .

אבל צריך גם לדעת מה ההסתברות שנבחר במזכירת הזהב בהינתן שהיא אכן במיקום L. במידה ו- (כלומר, המזכירה נמצאת בקבוצה שאנחנו פוסלים אוטומטית), אנחנו יודעים שההסתברות שנבחר בה היא בוודאות 0. כלומר - הסכום של ההסתברויות מ-L=1 עד L=K שווה ל-0. יופי, כבר חישבנו חצי דרך, עכשיו רק צריך לחשב את הסכום של ההסתברויות מ-L=K+1 עד L=N. אז בואו נסתכל דקה על המשוואה היותר פשוטה כדי לראות מה נותר לנו לחשב:

 

אז מה קורה במקרה שהיא נמצאת אחרי מיקום K? אם ניתקל בה ראשונה אחרי K (כלומר,במיקום K+1), אנחנו נבחר בה בוודאות (כי היא טובה יותר מכל המזכירות שהתראיינו לפניה). אבל אם היא לא תהיה ראשונה אחרי K, ובמקרה נראיין לפניה מזכירה "ערמומית" שגם היא במקרה טובה יותר מאלה שקדמו לה (על אף שהיא לא הטובה ביותר), אנחנו נעסיק אותה ונפספס את מזכירת הזהב שלנו. אז מה שמעניין אותנו בתכלס זה למצוא את ההסתברות שלא תהיה אף מזכירה ערמומית החל מנקודה K+1 ועד נקודה L (כי זהו למעשה המצב שבו נעסיק את המזכירה הטובה ביותר).

שימו לב - בהינתן שמזכירת הזהב תהיה במיקום K+1, ההסתברות שנבחר בה היא , אז לסכום בסיגמא שלנו יתווסף . בהינתן שמזכירת הזהב תהיה במיקום K+2, ההסתברות שהיא תיבחר היא . זאת, מפני שנוסף מיקום פוטנציאלי אחד שבו אנחנו עלולים להיתקל במזכירה ערמומית (מיקום K+1). על כן, לסכום בסיגמא יתווסף . קל לראות שבכל צעד שהמזכירה הטובה מתרחקת, המכנה של ההסתברות גדל ב-1 (ההסתברות הולכת וקטנה), מפני שיש יותר פוטנציאל לכך שמזכירה ערמומית תידחף באחד השלבים ותגנוב את המשרה.

אז בואו נסתכל שוב על הסיגמא המעודכנת שלנו (אנחנו כבר באמצע החישוב):

 

מעולה! עכשיו כל מה שנשאר לעשות זה לחשב את הסכום של הטור הזה. כדי לעשות זאת, נתחיל בלהוציא את הגורם המשותף הבא לכל האיברים בטור - . לאחר שנעשה זאת, נקבל את הטור הבא:

 

 

הטור שבחלק הפנימי של הסוגריים מוכר למישהו? הוא נקרא הטור ההרמוני, והוא מתנהג בצורה דומה מאוד לפונקציה . מהסיבה הזו, אנחנו יכולים לחשב קירובים של הסכום שלו באמצעות האינטגרל של הפונקציה , בין שני הגבולות [N, K]. אני לא אכנס להסבר המלא, אבל למי שיש ספקות כלשהם בנושא, ניתן לראות את הדמיון בין הפונקציה לבין הטור ההרמוני בגרף הבא, ובכך להבין מדוע האינטגרל יכול לשמש לחישוב קירובים טובים שלו. העמודים הכחולים מסמלים את ערכי הטור, והקו האדום הרציף הוא הפונקציה .

 

 

כעת, נחשב את האינטגרל בשני הגבולות:

 

 

אנחנו כבר ממש לקראת הסוף! מצאנו את הסכום של הטור ההרמוני שבתוך הסוגריים, אז נעדכן את הסיגמא שלנו בהתאם:

 

 

אני מזכיר שהסיגמא מסמלת את ההסתברות שלנו למצוא את המזכירה המושלמת, והמטרה שלנו היא להפוך את ההסתברות הזו למקסימלית. על כן, נצטרך למצוא את הערך של K שיהפוך את ההסתברות למקסימלית. לשם כך, נגדיר משתנה בשם x באופן הבא - . נבטא את הסיגמא שלנו בתור פונקציה של x, וכשנמצא את נקודת המקסימום שלה, נוכל למצוא גם את ערכו של K. אם כך - .

נגזור את הפונקציה ונשווה את נגזרתה ל-0 ונמצא את נקודת המקסימום (אני מדלג על החלק שמוכיחים בו שאכן מדובר במקסימום, תצטרכו לסמוך עליי):

 

וזהו! אם  אז אנחנו פשוט צריכים לקבוע את הערך של K כך ש-, בהתאם לכמות המזכירות שאמורות לבוא להתראיין (N). לאחר שנבדוק ונפסול בערך 37% מהמזכירות, נעסיק את המזכירה הראשונה שתבוא להתראיין ושתהיה "הטובה ביותר עד כה", ובכך נמקסם את ההסתברות לכך שניקח לעבודה את המזכירה הטובה ביותר!

אם נפעל על פי אסטרטגיה זו, הסיכוי שנעסיק את הטובה ביותר יהיה גם הוא , כלומר, כמעט 37% אחוזי הצלחה (ניתן למצוא את ההסתברות על ידי הצבת ערך x שהתקבל בסיגמא המקורית). בלי ספק מדובר באחוזי הצלחה גבוהים ביותר, בהתחשב בזה שאם באות להתראיין, למשל, 1000 מזכירות, הסיכוי שנבחר את הטובה ביותר במקרה הוא בסך הכל אלפית!

 

נגמרה המתמטיקה!!!

אז בואו נסכם - מסתבר שיש לנו דרך שלמרות שהיא נראית בהתחלה לא כל כך הגיונית, מבטיחה לנו סיכוי של בערך 37% להעסיק את המזכירה הטובה ביותר. כל מה שאנחנו צריכים זה לבדוק את 37% האחוזים הראשונים של המועמדות (ולדחות את כולן), ולאחר מכן לבחור את המזכירה הראשונה שהיא טובה יותר מכל מזכירה אחרת שהתראיינה עד כה. ככל שכמות המזכירות שבאות להתראיין יותר גדולה, כך השיטה הזו יותר יעילה.

אמנם הבעיה הזו התפרסמה במקור בהקשר של העסקת מזכירות, אבל אפשר להלביש אותה על הרבה סיטואציות שבהן אנחנו מחפשים את הטוב ביותר - רכישת דירה, מציאת בני/בנות זוג וכו'.

אנקדוטה נחמדה - המספר  מופיע בלא מעט הקשרים בהסתברות. הדבר הכי מגניב שראיתי שקשור אליו זה הוכחה שזהו האחוז הטוב ביותר של פצפוצי שוקולד שכדאי לשים בעוגייה. אם במקרה מתישהו תהיתם מדוע בעוגיות 37% המפורסמות יש בדיוק את האחוז הזה של שוקולד, יכול להיות שבאמת יש הסבר מתמטי מאחורי זה :)

_______________________________________________________________________

 

היה קצת ארוך היום, אבל אני מקווה שנהניתם לקרוא ושהמתמטיקה הוסברה באופן ברור. במידה ולא - מוזמנים להגיד לי איפה אפשר לשפר. אם הנושא מצא חן בעיניכם, אתם מוזמנים להגיד/להציע נושא אחר שבא לכם לקרוא עליו.

שבוע נעים! חיוך

 

נכתב על ידי קרל שוורצשילד , 25/3/2017 17:03   בקטגוריות הסתברות, מתמטיקה  
6 תגובות   הצג תגובות    הוסף תגובה   הוסף הפניה   קישור ישיר   שתף   המלץ   הצע ציטוט
 



החוק השלישי של התרמודינמיקה + סיכום


מזל טוב! הגענו לחוק היסודי האחרון של התרמודינמיקה. זה עומד להיות פוסט קצר יחסית, שכן החוק האחרון הוא יחסית יותר "קליל" משני הראשונים (התשובות לשיעורי הבית מופיעות כאן).

 

מבוא קצר

לפני שנלמד את החוק עצמו, אנחנו צריכים להגדיר קבוע טבע מסוים, שנקרא האפס המוחלט. האפס המוחלט הוא הטמפרטורה הנמוכה ביותר האפשרית - 0 מעלות בסולם קלווין (בערך מינוס 273 מעלות צלזיוס).

זה הגיוני בכלל להגדיר טמפרטורה שהיא הכי נמוכה? מדוע טמפרטורה לא יכולה להיות נמוכה כרצוננו? הרי אין שום הגבלה לחום מקסימלי של גוף, אז למה שתהיה הגבלה לקור מקסימלי? הסיבה לכך היא האופן שבו אנו מגדירים טמפרטורה. למי שזוכר, טמפרטורה היא האנרגיה הקינטית הממוצעת של החלקיקים המרכיבים את המערכת. לכן, כפי שקיימת אנרגיה קינטית מינמלית (0, לגוף שלא נע כלל), צריכה להתקיים גם טמפרטורה מינימלית. על פי הגדרה, גוף מגיע לטמפרטורה מינמלית כשלחלקיקים שמרכיבים אותו יש אנרגיה קינטית אפסית - כלומר, כאשר הם לא נעים כלל.

 

הכל טוב ויפה, אבל יש בעיה אחת קטנה - מצב כזה לא יכול באמת להתקיים בטבע. לא יתכן מצב שבו כל החלקיקים המרכיבים חומר מסוים לא נעים כלל, לא משנה כמה ננסה. הסיבה לכך נקשרת ברעיון שכבר למדנו, אבל בתחום אחר לגמרי. למי שקרא את סדרת הפוסטים על מכניקת הקוונטים אולי זכור עיקרון האי-ודאות של הייזנברג. עיקרון זה קובע שבקנה המידה הקטן ביותר, לא ניתן לדעת באופן מדויק לחלוטין את המיקום ואת המהירות של חלקיק בו זמנית. מסתבר שמכניקת הקוונטים מונעת מצב כזה (מאוד ממליץ לקרוא את הפוסט למי שזה מעניין אותו).

פועל יוצא של אותו עיקרון זה שלא יכול להיות מצב שבו חלקיקים לא נעים כלל, שכן בסיטואציה כזו, ניתן לדעת בוודאות מוחלטת בדיוק היכן חלקיק נמצא ובאיזו מהירות הוא נע (כי הוא לא נע כלל). במצב כזה תמיד יהיו תנודות קוונטיות קטנות בחומר שימנעו ממנו להגיע למצב של אנרגיה קינטית אפסית. דהיינו - אפשר להתקרב ל-0 המוחלט, אבל לעולם לא ניתן להגיע אליו.

 

החוק השלישי

החוק השלישי הוא מין הרחבה על החוק השני, והוא קובע כי האנטרופיה של מערכת היא 0 רק במצב בו הטמפרטורה שלה היא האפס המוחלט.

מדוע זה מעניין בכלל?

זה מעניין מפני שזה אומר לנו למעשה שמצב שבו האנטרופיה של מערכת היא אפסית לא יכול באמת להתקיים בטבע, מפני שאנחנו כבר יודעים שטמפרטורה של גוף לעולם לא יכולה להגיע לאפס המוחלט. עם זאת, ניתן גם להבין מהחוק שככל שמתקרבים לאפס המוחלט, כך קצב הגדילה של האנטרופיה מאט, ולמעשה פחות אנרגיה מתבזבזת. אמנם לעולם לא נוכל להגיע למצב שבו האנטרופיה לא גדלה, אבל אפשר לגרום לה לגדול לאט יותר.

בגלל ההשפעה שיש לאנטרופיה (כמעט) אפסית על חומר, ניתן לראות בגופים שקוררו לטמפרטורות הקרובות לאפס המוחלט הרבה תופעות מעניינות (כגון מצבי צבירה חדשים ומוליכות-על). מפני שלמערכת יש כל כך מעט אנרגיה חופשית בטמפרטורה כזו, הרבה מהתופעות המוזרות של מכניקת הקוונטים ניכרות גם בקנה המידה המאקרוסקופי, דבר שגורם לחומר להתנהג ממש מוזר. חלק גדול מהחידושים הגדולים בשנים האחרונות בתחומי הכימיה והנדסת החומרים קשורים בדרך זו או אחרת לאופן ההתנהגות של חומרים באזור האפס המוחלט.

 

(בתמונה - מגנט שקורר לטמפרטורה הקרובה לאפס המוחלט והפך להיות מוליך-על. כן, הוא מרחף)

 

מה הקשר בין שלושת החוקים?

אז בואו נסתכל דקה על שלושת החוקים ביחד:

1. הכמות הכוללת של האנרגיה במערכת תמיד נשארת זהה.

2. בכל תהליך ספונטני בטבע, האנטרופיה של המערכת תגדל.

3. המצב היחידי שבו האנטרופיה לא תגדל אינו אפשרי בטבע.

 

החוקים הם למעשה שלוש ההגבלות הגדולות של הטבע בכל הקשור לתהליכים שעוברת בהם אנרגיה. החוק הראשון טוען שלא ניתן ליצור אנרגיה יש מאין. החוק השני קובע שלא רק שלא נוכל לייצר אנרגיה, אלא גם תמיד נאבד אנרגיה שימושית בכל תהליך טבעי. החוק השלישי ממשיך ושובר כל שארית תקווה שהייתה לנו, בכך שהוא קובע כי המצב היחידי בו אנרגיה משתמרת באופן מיטבי הוא מצב שלא באמת יכול להתקיים בטבע.

החוקים הללו מכתיבים את אופן ההתנהגות של מנועים, מכונות, יצורים חיים וכוכבי לכת. הם גם מאפשרים לנו לדעת איך מערכות כאלה יתנהגו לאורך זמן, עד קנה המידה האטומי. זו הסיבה שהם לוקחים חלק כל כך חשוב בפיזיקה, כימיה, ביולוגיה, הנדסה, אקלים ועוד.

______________________________________________________________________

 

זהו בגדול, אכן היה פוסט קצר. בזאת סיימנו לבינתיים עם תרמודינמיקה. כמובן, מדובר רק בקצה הקרחון של התחום, ואני בטוח שיצא לי לגעת בתחום בפוסטים אחרים בהמשך, אבל לבינתיים רציתי שלפחות יהיה לנו איזשהו בסיס משותף שאפשר להשתמש בו בתחומים אחרים.

אם משהו לא ברור בפוסט/דורש הרחבה - מוזמנים להגיד. באופן כללי, תמיד שמח לשמוע מה דעתכם על הפוסטים. כרגיל, אם יש נושא שהייתם רוצים לקרוא עליו, אני תמיד פתוח להצעות (אפילו שהפוסט של שבוע הבא כבר שמור להוכחה מתמטית שאני רוצה לכתוב עליה כבר תקופה).

שבוע טוב! :)

 

נכתב על ידי קרל שוורצשילד , 18/3/2017 17:02   בקטגוריות פיזיקה, תרמודינמיקה  
7 תגובות   הצג תגובות    הוסף תגובה   הוסף הפניה   קישור ישיר   שתף   המלץ   הצע ציטוט
 



אנטרופיה מכל הכיוונים - המשך


ממשיכים עם הנושא הנהדר הזה. למי שעוד לא קרא את הפוסט הקודם בנושא, כדאי לחזור אחורה לפני כן ולקרוא. את התשובות לשיעורי הבית אפשר למצוא כאן.

לאחר שבפוסט הקודם הסברתי בקווים מאוד כלליים מהי אנטרופיה ואיזה חלק היא לוקחת בחוק השני של התרמודינמיקה, היום אני רוצה להמשיך ולהיכנס לנושא קצת יותר לעומק, ולהסביר את החשיבות שלה במגוון תחומים בטבע. זה חומר די כבד, ויש פה כמה משפטים שאני מניח שיהיה צריך לקרוא אותם יותר מפעם אחת כדי שהם יסתדרו כמו שצריך בראש, אבל כמו שאמרתי כבר כמה פעמים - זה שווה את זה. אפילו שלא שומעים על התכונה הזאת יותר מדי, אנטרופיה היא אחד מהכלים הכי עוצמתיים שקיימים בפיזיקה ובמדע בכלל. (אנקדוטה - לפני כמה ימים הוכחתי למישהו באמצעות אנטרופיה שמבחינה מדעית, קומוניזם זו שיטה כלכלית לא יעילה. מי שיודע איך להשתמש באנטרופיה יכול להגיע להמון מסקנות מעניינות על המציאות)

__________________________________________________________________

 

כיצד משתלבת האנטרופיה בחוק השני של התרמודינמיקה?

מלבד האופן שבו הוא מסביר איך חלב מתערבב בקפה, לחוק השני יש עוד המון שימושים. אפשר להגיד שהוא אחד מהחוקים הכי שימושיים בפיזיקה (ובעוד תחומים, כפי שנראה בהמשך). הערך העיקרי שלו נובע מהתובנה המרכזית שעולה ממנו - אנרגיה מתבזבזת (ובכמויות).

כזכור, החוק הראשון אומר לנו שכמות האנרגיה הכוללת במערכת תמיד נשארת קבועה. אבל ברגע שהאנטרופיה נכנסת לתמונה, המצב משתנה במידה מסוימת. אמנם כמות האנרגיה הכוללת תמיד נשארת קבועה, אבל בעקבות החוק השני, היא נהיית פחות ופחות מסודרת, וכתוצאה מכך, פחות ניתנת לשימוש.

אני מניח שמיותר לציין שככל שאנרגיה יותר מסודרת, ככה הנצילות שלה יותר גבוהה. לדוגמא, הסיבה היחידה שכדור פורח מצליח להישאר באוויר היא שכל אנרגיית החום שלו מרוכזת בנקודה אחת. אם החום היה מתפזר באופן אחיד בכל האוויר שמסביב לכדור (אנרגיה בצורה לא מסודרת), הוא לא היה מצליח להתרומם למעלה.

אבל כשהחוק השני גורם לכך שאנרגיה נהיית פחות מסודרת עם הזמן, זה בעצם אומר שהנצילות של האנרגיה המיוצרת בתהליכים תרמודינמיים (שהם אמצעי מרכזי לייצור אנרגיה) אף פעם לא תהיה מושלמת, ושתמיד תהיה אנרגיה שתלך לאיבוד. כמובן, המטרה בייצור אנרגיה היא לנסות לעשות זאת בתהליך שבמהלכו תאבד כמה שפחות אנרגיה.

 

מנועים, מכונות ויעילות

יעילות ונצילות של אנרגיה הן תכונות חשובות מאוד במנועים ובמכונות. המטרה היא, מן הסתם, להפיק כמה שיותר אנרגיה שימושית (כדי לבצע כמה שיותר עבודה) ולבזבז כמה שפחות ממנה. הבעיה המרכזית היא שככל שמנסים לייצר כמות יותר גדולה של אנרגיה שימושית בבת אחת, ככה החוק השני יותר מקשה על התהליך. כתוצאה מהאופן בו מתרחשים התהליכים התרמודינמיים המעורבים בהפעלתן של מכונות ומנועים (מקווה בהזדמנות לכתוב עליהם באופן מפורט), ככל שהתהליכים אמורים לייצר כמות יותר גדולה של אנרגיה שימושית, כך האנטרופיה של המערכת גדלה בקצב יותר מהיר, והנצילות של המערכת הולכת וקטנה. זה בעצם אומר שאם הכי חשוב לך לבזבז כמה שפחות אנרגיה, אתה צריך לייצר כמה שפחות. אם תנסה לייצר הרבה ממנה בבת אחת, אתה גם תבזבז יותר בתהליך. הדרך העיקרית בה אנרגיה הולכת לאיבוד היא בתהליכים שמעורב בהם כוח חיכוך, שמפזר את החום של המערכת לכל עבר באופן אקראי. קל להבין שככל שמנוע פועל באופן אינטנסיבי יותר, כך יש לו יותר חיכוך עם הסביבה שלו, ויותר אנרגיה הופכת לבלתי שימושית.

לכל מנוע או מכונה ניתן לחשב את היעילות המקסימלית שלהם, תוך לקיחה בחשבון של התהליכים התרמודינמיים שמתרחשים בהם. מכונה שמנצלת באופן מקסימלי את האנרגיה שמכניסים לתוכה נקראת "מכונת קרנו". מכונות כאלה לא באמת קיימות, מפני שכפי שהחוק השני מראה לנו, תמיד הולכת לאיבוד אנרגיה בתהליך. גם אם מכונת קרנו באמת הייתה קיימת, היא הייתה חייבת לייצר כמות מאוד קטנה של אנרגיה שימושית בכל רגע, כי ייצור של כמות גדולה של אנרגיה בבת אחת הייתה גורמת לבזבוז עצום של אנרגיה. למנוע דיזל ממוצע במכונית, למשל, יש יעילות של 30% בלבד, מפני שהוא מייצר כל כך הרבה אנרגיה בכל רגע.

 

 

(בצילום אינפרה-אדום ניתן לראות שהחום המיוצר במנוע המכונית מתפזר במהירות, בעיקר בשל תהליך החיכוך של הגלגלים עם הקרקע. כתוצאה מכך, כמות גדולה מאוד של אנרגיה הולכת לאיבוד)

 

 

האוניברסליות של האנטרופיה ותפקידה בהתפתחות החיים

אם לרגע חשבתם שהאנטרופיה והחוק השני תקפים רק בתחום התרמודינמיקה, אתם בהחלט טועים. האנטרופיה נמצאת כמעט בכל מופע בטבע, והיא תמיד גדלה, בדיוק כפי שהחוק השני אומר לנו. ניתן למצוא ביטויים לאנטרופיה הגדלה בכלל תחומי הפיזיקה, בכימיה, בביולוגיה, במזג האוויר, בבלשנות, בכלכלה ועוד. האנטרופיה אפילו נקשרת באופן שבו הדיסק הקשיח במחשב שלכם עובד (אני בהחלט מתכנן לכתוב בעתיד על הביטויים השונים של האנטרופיה ביקום, אבל זה משהו שדי חורג מהמסגרת שכרגע אני כותב בה). אבל יש תחום עיקרי אחד שהייתי רוצה לגעת בו על קצה המזלג.

טיבו של תהליך התפתחות החיים בכדור הארץ לא ברור. אפילו שהמכניזם הבסיסי ידוע ומוכר, לא ברור מהו הכוח שהניע את המנגנונים הללו להתפתח יש מאין. אבל בין אם תבחרו להאמין בסיפור הבריאה, או לחילופין בתיאוריה על התפתחות ספונטנית ופתאומית של חיים, לא ניתן להתכחש לעובדה כי האנטרופיה מהווה זרז רב עוצמה לכל תהליכי החיים.

במבט ראשון, נראה שקיומם של יצורים חיים דווקא סותר את החוק השני של התרמודינמיקה, שהרי לא יתכן שהאנטרופיה הגדלה הייתה מאפשרת ליצורים מורכבים להתפתח. אבל דווקא ההפך הוא הנכון - האנטרופיה מחייבת את החיים להתפתח בכל הזדמנות אפשרית. הסיבה לכך היא שהמורכבות שבתהליכים שמקיימים יצורים חיים גורמת באופן בלתי נמנע לגדילה באי-סדר הכולל ביקום.

תחשבו על זה כך - מהו בעצם יצור חי? הוא פשוט אוסף של מולקולות אורגניות שמתאגדות ביחד ומקיימות אינטראקציות עם הסביבה שלהן. מן הסתם זה הרבה יותר מורכב מזה, אבל זה הבסיס. עכשיו נסו לענות על השאלה הבאה - מה יוביל לגדילה יותר מהירה של האנטרופיה - ערימה של מולקולות שלא עושה כלום, או יצור מורכב שצורך אנרגיה ומפיץ את עצמו לכל אזור בכדור הארץ? מובן שהתרחיש השני. כשאתם אוכלים, כשאתם זזים, כשאתם חושבים - כל פעולה שלכם צורכת אנרגיה ומפזרת אותה באופן כאוטי ביקום. אולי אין תשובה מקובלת למה שגרם לחיים להתחיל להתקיים, אבל ניתן לראות באופן ברור שתנאי הכרחי לקיומם של החיים הוא גדילת האנטרופיה. בלעדיה, שום תהליך מעניין לא יכול לקרות.

 

כיצד מודדים אנטרופיה?

הבנו כבר שהאנטרופיה מייצגת את כמות האי-סדר במערכת. בפוסט הקודם גם אמרנו שאי-סדר של מערכת הוא ביטוי לכמות המידע שצריך כדי לתאר אותה - ככל שדרוש יותר מידע על מנת לתאר מערכת, כך היא נחשבת פחות מסודרת ויותר אנטרופית (כמו בדוגמת כוס הקפה). לצורך העניין, אפשר אפילו להחליף את המונח "אי-סדר" במילה "מורכבות" או "גיוון". אבל האם באמת אפשר להגדיר את האנטרופיה כגודל פיזיקלי? הרי זה לא באמת משהו שאפשר למדוד. איך מודדים מורכבות בכלל?

אז התשובה היא שבאמת לא ניתן למדוד אנטרופיה של מערכת - אפשר רק לחשב אותה. כאמור, האנטרופיה היא תופעה שנובעת מההתנהגות הסטטיסטית של המערכת (שבאופן סטטיסטי תמיד שואפת למצב של אי-סדר). לכן, כדי לחשב את האנטרופיה של המערכת בכל נקודה בזמן  צריך להשתמש בסטטיסטיקה, ולקחת בחשבון את כמות הדרכים השונות בהן המערכת יכולה להיות מסודרת בקנה המידה המיקרוסקופי באופן שייתן את אותה מערכת מאקרוסקופית. זה בטח נשמע קצת כמו סינית, אז אסביר מה זה אומר באמצעות דוגמה:

נניח שאני מטיל 4 מטבעות. יש הרבה קומבינציות שיכולות לצאת מההטלות הללו, אבל הרבה מהקומבינציות המיקרוסקופית הללו יתנו את אותה תוצאה מאקרוסקופית; למערכת המאקרוסקופית זה לא משנה אם יצא לנו [עץ, פלי, פלי, פלי] או [פלי, פלי, פלי, עץ] - כל עוד יש את אותו יחס בין הכמות הכוללת של ההטלות השונות. אבל עדיין יש מצבים מאקרוסקופיים יותר סבירים מאחרים. למשל, יש 6 קומבינציות שונות שיכולות להביא לתוצאה של פעמיים פלי ופעמיים עץ, אבל רק קומבינציה אחת שיכולה להביא לתוצאה של ארבע פעמים עץ ואפס פעמים פלי.

כפי שאמרתי, האנטרופיה קשורה לכמות המיקרו-מצבים שיכולים להביא למערכת מאקרוסקופית מסוימת. במקרה של הטלת המטבע, המערכת המאקרוסקופית היא כמות הפעמים הכוללת שהמטבע נחת על כל צד, והמיקרו-מצבים הם הקומבינציות השונות שיכולות להביא למצב הזה. במקרה של כוס הקפה, האנטרופיה קשורה לכמות הדרכים השונות שבהן חלקיקי החלב והקפה יכולים להיות מפוזרים בתוך הכוס. אם אנחנו יודעים את האופן שבו החלקיקים מפוזרים בתוך הכוס, אנחנו יכולים לחשב את כמות הקומבינציות שיכולות להוביל לאותו מצב מאקרוסקופי, ובכך גם לחשב את האנטרופיה של המערכת. אין הרבה קומבינציות שיכולות לגרום לכך שהחלב והקפה שבכוס יהיו מופרדים אחד מהשני לחלוטין, ולכן האנטרופיה של מצב כזה היא נמוכה (סדר גבוה). מצד שני, יש המון קומבינציות שונות שיכולות להביא למערכת בה החלב והקפה מעורבבים אחד בשני באופן אחיד יחסית, ולכן במצב כזה האנטרופיה היא גבוהה. על פי החוק השני, ככל שיעבור זמן, ככה המערכת תשאף יותר ויותר למצב שכזה.

 

האם האנטרופיה היא גודל פיזיקלי אמיתי?

בטח שמתם לב שהאנטרופיה היא גודל שונה מרוב הגדלים הפיזיקליים שנתקלים בהם ביום-יום. מטען חשמלי, מסה, מהירות... כל אלה תכונות שניתן למדוד אותן ישירות, ושיש להן משמעות גם בקנה המידה המיקרוסקופי. את האנטרופיה, לעומת זאת, לא רק שלא ניתן למדוד, אלא שהיא מאבדת משמעות לחלוטין ברגע שיורדים לקנה המידה המיקרוסקופי של המערכת. זו תכונה שיש לה משמעות רק כשמסתכלים על התמונה הגדולה, ולא על כל נקודה בנפרד.

התשובה היא שהאנטרופיה היא גודל מסוג מיוחד. באנגלית קוראים לזה "emergent property", אני מניח שאפשר לתרגם את זה בתור "תכונה נגזרת". תכונה נגזרת שכזו היא תכונה שלא נובעת מחלק מסוים במערכת, אלא מהמערכת בכללותה ומהאופן בו היא מתנהגת. דהיינו - השלם גדול מסכום חלקיו. אמנם לא ניתן למדוד תכונות נגזרות באופן ישיר (משום שזהו עצם טבען), אבל הן בסופו של דבר מכתיבות את ההתנהגות הכוללת של מערכות מאקרוסקופיות ומסבירות לנו כיצד הן משתנות לאורך זמן, ולכן המשמעות שלהן היא עמוקה לא פחות משל גדלים מדידים רגילים. ניתן גם להגדיר את המושג "תופעה נגזרת", שבדומה לתכונה נגזרת, היא תופעה שיכולה להתבטא רק בקנה מידה מאקרוסקופי, ושאין לה משמעות כשמתייחסים בנפרד לכל חלק במערכת.

דוגמה לתופעה נגזרת בטבע היא מזג האוויר. הוא לא תופעה שניתן להגדיר אותה בפני עצמה, אלא מארג שלם של מערכות דינמיות שמשפיעות אחת על השנייה (טמפרטורה, לחץ, לחות וכו'). אבל למזג האוויר כאפקט מאקרוסקופי יש משמעות עמוקה לא פחות מכל אחת מהתכונות שמגדירות אותו בנפרד.

________________________________________________________________________

 

שיעורי בית

1. נניח שאני מטיל שתי קוביות הוגנות כמות אינסופית של פעמים. הסכומים השונים שיכולים להתקבל מהטלת שתי הקוביות הם 2-12. איזה מהסכומים הוא בעל האנטרופיה הגבוהה ביותר? מה זה אומר לנו על האופן בו "יתנהגו" ההטלות לאורך זמן?

2. מהן תכונה נגזרת ותופעה נגזרת? נסו לתת דוגמאות לתופעות נגזרות בכל תחום שמתחשק לכם (זה יכול אפילו להיות בדברים כמו פסיכולוגיה או ספורט)

3. שאלה קצת מדכאת (אבל משמעותית) - בהינתן שהיקום מתנהג כמו מערכת מאקרוסקופית בגודל אינסופי, מה זה אומר על עתיד היקום בעוד מיליארדי שנים? איזה שינויים ייתרחשו בו עקב האנטרופיה הגדלה? (רמז - תחשבו על היקום במצבו הנוכחי בתור כוס קפה ענקית)

4. נניח שבאופן היפותטי, מישהו מכריז מחר שהוא הצליח לייצר מכונית עם מנוע בעל נצילות של 99% (ושהוא לא משקר). האם כדאי לנו לרכוש מכונית כזאת? איך לדעתכם היא תפעל?

_________________________________________________________________________

 

נראה לי שבזאת סיימנו עם האנטרופיה, לפחות זמנית. אני חד משמעית אכתוב עוד על הנושא פה בעתיד, אבל לבינתיים אני ממשיך הלאה לחוק השלישי. אשמח מאוד לשמוע מה דעתכם על הנושא בינתיים, ומה יכול להיות כתוב באופן יותר ברור. כרגיל, אם יש שאלות/בקשות כלשהן - אני תמיד פתוח לשמוע.

אחרי שאסיים עם החוק השלישי ואתן מין סיכום כללי כזה על שלושת חוקי היסוד ואיך הם משתלבים אחד בשני בטבע, אני חושב שאקח הפסקה מתרמודינמיקה. כבר הרבה זמן לא כתבתי פה על הוכחות מתמטיות יפות, נראה לי שאתחיל בלכתוב על משהו כזה. אם יש לכם רעיונות נוספים - מוזמנים להציע בכיף.

זהו לבינתיים, נתראה :)

 

 

נכתב על ידי קרל שוורצשילד , 11/3/2017 20:04   בקטגוריות פיזיקה, תרמודינמיקה  
16 תגובות   הצג תגובות    הוסף תגובה   הוסף הפניה   קישור ישיר   שתף   המלץ   הצע ציטוט
 



לדף הבא
דפים:  

Avatarכינוי:  קרל שוורצשילד

בן: 21




הבלוג משוייך לקטגוריות: מדע וטכנולוגיה
© הזכויות לתכנים בעמוד זה שייכות לקרל שוורצשילד אלא אם צויין אחרת
האחריות לתכנים בעמוד זה חלה על קרל שוורצשילד ועליו/ה בלבד
כל הזכויות שמורות 2017 © נענע 10 בע"מ